定常状態と極限分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/13 00:02 UTC 版)
時間的に一様なマルコフ連鎖で、過程が時間に依存しない行列 p i j {\displaystyle p_{ij}} で記述でき、ベクトル π の要素 πj の和が 1 で、次を満たすとする： π j = ∑ i ∈ S π i p i j {\displaystyle \pi _{j}=\sum _{i\in S}\pi _{i}p_{ij}} この場合には、ベクトル π を定常分布という。既約な連鎖は、そのすべての状態が再帰的ならば、またその場合に限り、定常分布を持つ。この場合、π はただ1つで、再帰時間の期待値 Mj との間に次の関係がある： π j = 1 M j {\displaystyle \pi _{j}={\frac {1}{M_{j}}}} さらに、連鎖が既約かつ非周期的ならば、任意のi とj に対して lim n → ∞ p i j ( n ) = 1 M j {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }p_{ij}^{(n)}={\frac {1}{M_{j}}}} となる。ここでは初期分布に関して何も仮定していない。つまり連鎖は初期の状態によらず定常分布に収束し，これを連鎖の均衡分布という。 連鎖が既約でないならば、その定常分布はただ1つに定まらない。（閉じた連結類を考えれば、各連結類毎にただ1つの定常分布がある。）しかし、状態 j が非周期的ならば、 lim n → ∞ p j j ( n ) = 1 M j {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }p_{jj}^{(n)}={\frac {1}{M_{j}}}} であり、他の任意の状態i に対しi を初期状態として、連鎖が状態j に到達する確率をfij とすると、 lim n → ∞ p i j ( n ) = f i j M j {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }p_{ij}^{(n)}={\frac {f_{ij}}{M_{j}}}} となる。
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