定常状態法による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:53 UTC 版)
「ミカエリス・メンテン式」の記事における「定常状態法による導出」の解説
系の別の解析がイギリスの植物学者ジョージ・エドワード・ブリッグズ（英語版）とイギリスの遺伝学者J・B・S・ホールデンによって1925年に行われた。迅速平衡法では E + S ⇔ E S {\displaystyle \mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES} } が迅速に平衡に達すると仮定されているため、 E S → E + P {\displaystyle \mathrm {ES} \rightarrow \mathrm {E} +\mathrm {P} } の速度定数が E + S ⇔ E S {\displaystyle \mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES} } の速度定数よりもはるかに小さい反応にしか成り立たない。定常状態法によって求めることで一般の反応でも同様の式が成り立つことが証明される。 反応機構は同様で、 E + S ⇔ E S {\displaystyle \mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES} } について右向きの速度定数をk+1 、左向きの速度定数をk-1 とする。 定常状態では各酵素種の経時的濃度変化はないので、 d [ E ] d t = ( k − 1 + k + 2 ) [ E S ] − k + 1 [ E ] [ S ] = 0 ⋯ ( 1 ) d [ E S ] d t = k + 1 [ E ] [ S ] − ( k − 1 + k + 2 ) [ E S ] = 0 ⋯ ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d[\mathrm {E} ]}{dt}}&=(k_{-1}+k_{+2})[\mathrm {ES} ]-k_{+1}[\mathrm {E} ][\mathrm {S} ]=0\cdots (1)\\{\frac {d[\mathrm {ES} ]}{dt}}&=k_{+1}[\mathrm {E} ][\mathrm {S} ]-(k_{-1}+k_{+2})[\mathrm {ES} ]=0\cdots (2)\end{aligned}}} この反応機構ではEとESしか酵素種が存在しないので [ E ] + [ E S ] = [ E ] 0 ⋯ ( 3 ) {\displaystyle [\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]=[\mathrm {E} ]_{0}\cdots (3)} 反応産物はESよりk+2の速度で生成されるので v = d [ P ] d t = k + 2 [ E S ] ⋯ ( 4 ) {\displaystyle v={\frac {d[\mathrm {P} ]}{dt}}=k_{+2}[\mathrm {ES} ]\cdots (4)} (1) または (2) 式と (3) 式を連立方程式とみなして [ES] を求めると [ E S ] = k + 1 [ E ] 0 [ S ] k − 1 + k + 2 + k + 1 [ S ] ⋯ ( 5 ) {\displaystyle [\mathrm {ES} ]={\frac {k_{+1}[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{k_{-1}+k_{+2}+k_{+1}[\mathrm {S} ]}}\cdots (5)} (5) 式を (4) 式に代入して速度v を得た後、分子分母をk+1 で割る。 v = k + 2 [ E ] 0 [ S ] ( k − 1 + k + 2 ) / k + 1 + [ S ] ⋯ ( 6 ) {\displaystyle v={\frac {k_{+2}[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{(k_{-1}+k_{+2})/k_{+1}+[\mathrm {S} ]}}\cdots (6)} 速度パラメーターとして V m a x = k + 2 [ E ] 0 , K m = k − 1 + k + 2 k + 1 {\displaystyle V_{\mathrm {max} }=k_{+2}[\mathrm {E} ]_{0},\quad K_{\mathrm {m} }={\frac {k_{-1}+k_{+2}}{k_{+1}}}} と定義すれば、(6) 式は v = V m a x [ S ] K m + [ S ] {\displaystyle v={\frac {V_{\mathrm {max} }[\mathrm {S} ]}{K_{\mathrm {m} }+[\mathrm {S} ]}}} となる。
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