定常流におけるベルヌーイの定理の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 10:23 UTC 版)
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定常流の場合、オイラー方程式の左辺第1項は消え、両辺に v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} を内積でかけると左辺第2項も消え、 v ⋅ ∇ { v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \left\{{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0} となる。流線上の道のりを s で表すと、速度ベクトルが流線に接していることと方向微分の考え方により、 v ⋅ ∇ = v ∂ ∂ s {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla =v{\partial \over \partial s}} となるので、 ∂ ∂ s { v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle {\partial \over \partial s}\left\{{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0} すなわち流線上で v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω {\displaystyle {v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}} は一定値をとる。 なお、渦度ベクトル ∇ × v {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {v}}} を結んで得られる渦線上でも一定値をとることも同様に示される。すなわち、流線と渦線から作られる面（ベルヌーイ面）上で v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω = c o n s t a n t {\displaystyle {v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}=\mathrm {constant} } が成り立つ。
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