始位相、逆像位相、部分位相、直積位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「始位相、逆像位相、部分位相、直積位相」の解説
まず始位相の概念を以下のように定義する： 定義 (始位相) ― Xを集合とし、 { ( Y λ , O λ ) } λ ∈ Λ {\displaystyle \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とし、写像 f λ : X → Y λ {\displaystyle f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }} の族 ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を考える。 このとき、全ての f λ {\displaystyle f_{\lambda }} を連続にする最弱の位相をXの ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} 始位相（英語版）という。 始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下でXは集合である。 名称定義逆像位相 位相空間 ( Y , O ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})} と写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} がXに定める始位相の事 部分位相 位相空間 ( Y , O ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})} の部分集合Xに対し、包含写像 ι : X ↪ Y , x ↦ x {\displaystyle \iota ~:~X\hookrightarrow Y,\ x\mapsto x} による逆像位相の事。X に部分位相を入れたものを ( Y , O ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}})} の部分空間という。 直積位相（チコノフ位相とも） { ( X λ , O λ ) } λ ∈ Λ {\displaystyle \{(X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とするとき、射影 π λ : Y = ∏ τ ∈ Λ X τ → X λ {\displaystyle \pi _{\lambda }~:~Y=\prod _{\tau \in \Lambda }X_{\tau }\to X_{\lambda }} の族 { π λ } λ ∈ Λ {\displaystyle \{\pi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} によってYに定義される始位相の事。直積Yに直積位相を入れた位相空間を直積空間という。 これらはより具体的に書き表す事が可能である： 定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、 逆像位相の開集合系は f ∗ ( O ) := { f − 1 ( O ) ∣ O ∈ O } {\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}):=\{f^{-1}(O)\mid O\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。 部分位相の開集合系は、 { O ∩ X ∣ O ∈ O } {\displaystyle \{O\cap X\mid O\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。 直積位相は { ∏ λ ∈ Λ O λ | O λ ∈ O λ {\displaystyle {\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }} , 有限個のλを除いて O λ = X λ } {\displaystyle O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}} を開基とする。 上述の定理の直積位相の箇所に関して、Λが有限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件がいらなくなるので簡単であるが、Λが無限集合のときは注意が必要である。例えば R 1 , R 2 , … {\displaystyle \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots } を R {\displaystyle \mathbb {R} } の(可算)無限個のコピーとし、 U 1 , U 2 , … {\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots } を U = ( 0 , 1 ) {\displaystyle U=(0,1)} の無限個のコピーとするとき、直積 ∏ i ∈ N U i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}} は直積位相に関して ∏ i ∈ N R i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}} の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。これに対し直積空間には ∏ i ∈ N U i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}} をも開集合とする位相も定義可能である： 定義 ― 位相空間の族 ( X λ , O λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 { ∏ λ ∈ Λ O λ ∣ ∀ λ ∈ Λ : O λ ∈ O λ } {\displaystyle \{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}} を開基とする ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} の位相を箱型積位相（英語版）という。 箱型積位相は直積位相より強い（弱くない）位相である。
※この「始位相、逆像位相、部分位相、直積位相」の解説は、「位相空間」の解説の一部です。
「始位相、逆像位相、部分位相、直積位相」を含む「位相空間」の記事については、「位相空間」の概要を参照ください。
- 始位相、逆像位相、部分位相、直積位相のページへのリンク
