太陽系の平均運動共鳴
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/03 21:27 UTC 版)
太陽系の惑星や衛星の間には次の5つの平均運動共鳴のみが知られている。（より大きな整数比の共鳴は小惑星や惑星の環、小衛星などにのみ見られる。） 2:3 海王星-冥王星 4:2 ミマス-テティス（土星の衛星） 2:1 エンケラドゥス-ディオネ（土星の衛星） 4:3 タイタン-ヒペリオン（土星の衛星） 1:2:4 イオ-エウロパ-ガニメデ（木星の衛星） - 太陽系内で唯一のラプラス共鳴（後述） 公転周期の整数比は共鳴の性質を簡潔に表す便利なものだが、実際には以下のようなより複雑な関係が存在している。 会合点が共鳴によって定義される平衡点の周りを振動する。 軌道の離心率が 0 でない場合、軌道の昇交点・降交点や近点が移動する。（共鳴に関係したこの種の移動は短周期のもので、永年的な歳差とは異なる。） 後者の例としてよく知られたイオとエウロパの 1:2 共鳴を考える。公転周期がこのような整数比になっていると、平均運動 n {\displaystyle n\,\!} （公転周期の逆数の次元を持ち、度/日の単位で表されることが多い）は次の関係を満たす。 n I o − 2 n E u = 0 {\displaystyle n_{\rm {Io}}-2n_{\rm {Eu}}=0\,} しかし実際にイオとエウロパの平均運動の値を上式の左辺に代入してみると、結果は -0.7395 °/日となって 0 にならない。 実際には共鳴自体は完全だが、ここに近木点（木星に最も近い点）の歳差が加わる。よって正しい式は以下のようになる（これはラプラス方程式の一部となっている）。 n I o − 2 n E u + ω ˙ I o = 0 {\displaystyle n_{\rm {Io}}-2n_{\rm {Eu}}+{\dot {\omega }}_{\rm {Io}}=0\,} すなわち、イオの平均運動は近木点の歳差を考慮に入れればエウロパの平均運動のちょうど2倍になる。もし移動する近木点からこれらの天体を観測すると、この二つの衛星は（近木点からの離角が）常に同じ位置で会合を迎えるのを見ることになる。上に挙げた他の平均運動共鳴の例でも同様の関係を満たしている。ただしミマスとテティスの場合は例外で、下記の式を満たす。 4 n T h − 2 n M i − Ω T h − Ω M i = 0 {\displaystyle 4n_{\rm {Th}}-2n_{\rm {Mi}}-\Omega _{\rm {Th}}-\Omega _{\rm {Mi}}=0\,} この場合、会合点は両衛星の交点の中点を中心として振動する。
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