変分不等式との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/03 21:52 UTC 版)
多くの自由境界問題は、解析を行う目的上、変分不等式（英語版）として見なすことも出来る。この点を表すために、実 n 変数の関数 F の、凸集合 C についての最小化を行う。そのミニマイザー x は条件 ∇ F ( x ) ⋅ ( y − x ) ≥ 0 for all y ∈ C {\displaystyle \nabla F(x)\cdot (y-x)\geq 0{\text{ for all }}y\in C\,} によって特徴付けられている。x が C の内点であるなら、F の勾配はゼロでなければならない。x が C の境界上にあるなら、F の x における勾配は、境界に対して垂直でなければならない。 勾配が変分微分として見なされるような、ヒルベルト空間の凸部分集合上の、微分可能汎関数 F の最小化にも、同様のアイデアが適用される。このアイデアを具体化するために、それを障害問題に適用する。それは、次のように表現される： ∫ Ω ( ∇ 2 u + f ) ( v − u ) d x ≥ 0 for all v ≤ φ . {\displaystyle \int _{\Omega }(\nabla ^{2}u+f)(v-u)\,\mathrm {d} x\geq 0{\text{ for all }}v\leq \varphi .} この定式化は、弱解の定義を許すものである：最後の方程式に対して、部分積分を行うことにより ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ ( v − u ) d x ≤ ∫ Ω f ( v − u ) d x for all v ≤ φ {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla (v-u)\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }f(v-u)\,\mathrm {d} x{\text{ for all }}v\leq \varphi } が得られる。この定義では、多くの楕円型境界値問題の弱定式化と同様に、u が一階微分を持つことのみ要求されている。
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