変分原理による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:05 UTC 版)
「クライン-ゴルドン方程式」の記事における「変分原理による導出」の解説
物理における他の基礎方程式と同様に、クライン–ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる（変分原理）。クライン–ゴルドン方程式において、作用積分 I = ∫ d 4 x L ( x ) ( x = ( t , x ) ) {\displaystyle I=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(x)\quad (x=(t,\mathbf {x} )\,)} のラグランジアン密度は、 L ( x ) = ℏ 2 2 ( ∂ μ ϕ ) ( ∂ μ ϕ ) − 1 2 m 2 c 2 ϕ 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2}\phi ^{2}} = ℏ 2 2 { 1 c 2 ( ∂ ϕ ∂ t ) 2 − ( ∂ ϕ ∂ x ) 2 − ( ∂ ϕ ∂ y ) 2 − ( ∂ ϕ ∂ z ) 2 } − 1 2 m 2 c 2 ϕ 2 {\displaystyle ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left\{{\frac {1}{c^{2}}}{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\biggr )}^{2}\right\}-{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2}\phi ^{2}} で与えられる。但し、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー＝ラグランジュ方程式 ∂ L ∂ ϕ − ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\biggl (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\biggr )}=0} より、上述のクライン–ゴルドン方程式が導かれる。
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