基本モデルへの分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/11 04:12 UTC 版)
まず、3-次元多様体の基本モデルへの分解は、埋め込まれている 2-次元球面に沿って 2つの成分へと切り開くことである。結果として現れる縁(edge)は 2-球面 (two spheres) であり、ここで各々を一つの 3-球体へ貼り合わせ、再び各々の成分が境界を持たないようにする。 この 2-球面に沿った分解を通し、既約な成分へと到達することができる。 このことは、全ての埋め込まれた 2-球面は、一つの 3-球体の縁であり、従って、さらに分解すると加えられていた S 3 {\displaystyle S^{3}} を次々と省略できることを意味する。既約成分への分解は、加えられる S 3 {\displaystyle S^{3}} や加える順序は一意に決まることを示すことができる。 S 2 × S 1 {\displaystyle S^{2}\times S^{1}} の形をした規約成分が有限群である基本群を持つと、この成分はこれ以上には分解されない．他の成分は、全てが一意的にアトロイダル（英語版）(atoroidal)となるか、またはザイフェルトファイバー（英語版）(Seifert fibered)多様体になるまで、トーラスに沿って分解することができる。この分解をジャコ・シャーレン・ヨハンソン分解、短くはJSJ分解（英語版）(JSJ decomposition)と言う。 この方法により、分解を逆にたどると（連結和(connected sum)とトーラスを貼り付けることにより）、全ての 3次元多様体を再び得ることができる。従って、3次元多様体の分類は、JSJ分解の基本ブロックを理解すれは十分であることがわかる。すなわち、既約多様体は、有限群を基本群としてもつもの、ザイフェルトファイバー空間とアトロイダル(atoroidal)な多様体である。
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