原子・分子への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 02:10 UTC 版)
原子系や分子系のハミルトニアンは角運動量の内積を含む。例えば超微細構造ハミルトニアンの磁気双極子項がある H ^ D = A ^ I ⋅ J , {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {D} }={\hat {A}}{\boldsymbol {I}}\cdot {\boldsymbol {J}},} ここでI は核スピンである。 角運動量代数は球面基底で再計算することで単純化できる。 球面テンソル演算子の記法を用いることで、 J(1) ≡ J の"−1"、"0"、"+1" 成分は J − 1 ( 1 ) = 1 2 ( J x − i J y ) = J − 2 , J 0 ( 1 ) = J z , J + 1 ( 1 ) = − 1 2 ( J x + i J y ) = − J + 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}} これらの定義から、上記の内積を展開できる。 I ( 1 ) ⋅ J ( 1 ) = ∑ n = − 1 + 1 ( − 1 ) n I n ( 1 ) J − n ( 1 ) = I 0 ( 1 ) J 0 ( 1 ) − I − 1 ( 1 ) J + 1 ( 1 ) − I + 1 ( 1 ) J − 1 ( 1 ) , {\displaystyle {\boldsymbol {I}}^{(1)}\cdot {\boldsymbol {J}}^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)},} この展開は、状態が mi = ±1 とmj = ∓1 だけ量子数が異なる項と結合している状態を表している
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