別の表示法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 12:50 UTC 版)
ベクトル表示 中心の位置ベクトルを c とし、円上の任意の点の位置ベクトルを x とすると、これら二点間の距離は、ベクトルのユークリッドノルム ‖ • ‖ := ‖ • ‖2: (x, y) ↦ √x2 + y2 を用いて、‖ x − c ‖ と書けるから、半径 r の円の方程式は ‖ x − c ‖ = r {\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r} となる。各点の成分表示が c := (a, b), x := (x, y) と与えられれば、 r 2 = ‖ x − c ‖ 2 = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\textstyle r^{2}=\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} は上記の円の方程式である。 媒介変数表示 (a, b) を中心とする半径 r の円の方程式を正弦函数および余弦函数を用いて { x = a + r cos ( θ ) y = b + r sin ( θ ) ( 0 ≤ θ < 2 π ) {\displaystyle {\begin{cases}x=a+r\cos(\theta )\\y=b+r\sin(\theta )\end{cases}}\qquad (0\leq \theta <2\pi )} と媒介表示できる。幾何学的には、媒介変数 θ を (a, b) から出る (x, y) を通る半直線が、始線（x-軸の正の部分）に対してなす角の角度と解釈できる。 円の別の媒介表示が半角正接置換（英語版）により、 { x = a + r 1 − t 2 1 + t 2 y = b + r 2 t 1 + t 2 {\displaystyle {\begin{cases}x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}} と与えられる。幾何学的には、この媒介変数 t の r に対する比を、中心を通り x-軸に平行な直線に関する立体射影として解釈できる。この媒介表示は、t が任意の実数のみならず無限遠点においても意味を持つが、その一方で円の最も下にある一点は表せないので除かなければならない。
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