一貫性、完全性、正規形とは? わかりやすく解説

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一貫性、完全性、正規形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 09:51 UTC 版)

自然演繹」の記事における「一貫性、完全性、正規形」の解説

数学的理論は、(仮定なしで)偽を証明可能でないなら一貫性があると言われ論理推論規則使って全ての定理証明可能なら完全性があると言われる。これは論理一般に言えることで、通常モデル何らかの観念対応する。しかし、それとは別に推論規則統語的な性質としての一貫性完全性もあり、こちらはモデルとは無関係である。まず、局所一貫性(あるいは局所還元性)とは、ある結合子導入規則のすぐ後に同じ結合子除去規則使っている導出過程があったとき、その部分除いた等価導出過程変換可能であることを意味する。例として論理積場合を示す。 ------ u ------wA true B true------------------ ∧I A ∧ B true ---------- ∧E1 A true ⇒ ------ uA true これと対になる局所完全性では、除去規則使って結合子をその導入規則入力となる形式分解できることを意味する論理積での例を示す。 ---------- uA ∧ B true ⇒ ---------- u ---------- uA ∧ B true A ∧ B true---------- ∧E1 ---------- ∧E2 A true B true ----------------------- ∧I A ∧ B true これらの記法は、ラムダ計算でのβ-簡約やη-変換正確に対応している局所完全性では、全ての導出過程がそれに基本的結合子導入したものと等価であることが示されている。実際除去の後に導入が行われる順序なら、その導出を「正規; normal」であると称する正規導出では、全ての除去導入前に行われる多く論理では、あらゆる導出には等価正規導出があり、これを「正規形; normal form」と呼ぶ。正規形存在は、自然演繹だけでは証明困難だが、1961年Dag Prawitz著書など示されている。間接的には、カット規則のないシークエント計算使えば、もっと簡単に示すことができる。

※この「一貫性、完全性、正規形」の解説は、「自然演繹」の解説の一部です。
「一貫性、完全性、正規形」を含む「自然演繹」の記事については、「自然演繹」の概要を参照ください。

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