ユークリッドの補題とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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ユークリッドの補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/28 00:57 UTC 版)

ユークリッドの補題（ユークリッドのほだい、英: Euclid's lemma）またはユークリッドの第一定理（ユークリッドのだいいちていり、英: Euclid's first theorem）とは素数に関する基本的な性質について述べた次の補題である：

脚注

注釈

^ 一般に、域が一意分解整域であることを示すことは、ユークリッドの補題と主イデアルの昇鎖条件（英語版） (ACCP) を導くには充分である。
^ 一般の代数学において「積を割り切るならば何れか一つの因子を割り切る」という性質は素元、すなわち任意の可換環における一般化された素数の定義に用いられる。一方、素数の定義「自分自身と単数以外に因子を持たない」を満たすものは既約元という。そのうえで、任意の可換環（特に整域） $R$ において「任意の既約元は素元である（したがって素元と既約元は同値な概念となる）」という主張を一般に「ユークリッドの補題」と呼ぶ。この場合、 $R$ によってユークリッドの補題は真にも偽にもなり得る。真となる整域 $R$ を EL 整域 (Euclid's Lemma domain) と呼ぶ。
^ すなわち，a ： b＝c ： d ならば ad＝bc およびその逆^[3]。
^ すなわち，a ： b＝c ： d で，a, b がこの関係を満足するうちの最小の数とすれば，自然数 n≧1 があって，c＝na, d＝nb となる^[4]。
^ すなわち，a ： b＝c ： d で，a, b が互いに素とすれば，a, b がこの関係を満足するうちの最小の数となる^[5]。
^ 素数はそれの倍数以外のすべての数に対して素である^[6]。
^ 素数 c が ab を割り切るならば，c は a または b を割り切る^[7]。