ベズーの補題による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 01:57 UTC 版)
「ユークリッドの補題」の記事における「ベズーの補題による証明」の解説
ベズーの補題を利用した証明をする。ベズーの補題によれば、x, y が互いに素な整数であるなら（x, y の最大公約数が 1 であるなら）、 r x + s y = 1 {\displaystyle rx+sy=1} (1) を満たすような整数 r, s が存在する。 a, c が互いに素であり、かつ c ∣ {\displaystyle \mid } ab であるとすれば、ベズーの等式 (1) より、以下の等式を得る。 r c + s a = 1. {\displaystyle rc+sa=1.} (2) (2) の両辺に b を掛ければ r c b + s a b = b {\displaystyle rcb+sab=b} (3) となる。(3) の左辺の第一項は c で割り切れ、第二項は ab で割り切れるので仮定より c でも割り切れる。従ってそれらの和も c で割り切れるから c ∣ {\displaystyle \mid } b が成り立つ。これは上述のユークリッドの補題の一般化になっている。
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