最小公倍数・最大公約数の性質から
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 01:57 UTC 版)
「ユークリッドの補題」の記事における「最小公倍数・最大公約数の性質から」の解説
公倍数は最小公倍数の倍数である。…① 公約数は最大公約数の約数である。…② 二つの正整数 a , c {\displaystyle a,c} の最小公倍数を l {\displaystyle l} 、最大公約数を g {\displaystyle g} とするとき、 a c = l g {\displaystyle ac=lg} の関係がある。…③ ③は①②より直接証明できる。 今 a , c {\displaystyle a,c} が互いに素であるとき g = 1 {\displaystyle g=1} ．ゆえに l = l c m ( a , c ) = a c {\displaystyle l=lcm(a,c)=ac} ．…④ ここでユークリッドの補題の前提条件として a , c {\displaystyle a,c} が互いに素であり、かつ c ∣ a b {\displaystyle c\mid ab} のとき， a b {\displaystyle ab} は c {\displaystyle c} の倍数かつ、当然 a {\displaystyle a} の倍数であるから、 a b {\displaystyle ab} は a , c {\displaystyle a,c} の公倍数．④より l c m ( a , c ) = a c {\displaystyle lcm(a,c)=ac} で①より a c ∣ a b {\displaystyle ac\mid ab} ．ゆえに c ∣ b {\displaystyle c\mid b} . これが証明すべきことであった．
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