ガウス過程との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/30 16:17 UTC 版)
「ブロッホ＝ドミニシスの定理」の記事における「ガウス過程との関係」の解説
ブロッホ＝ドミニシスの定理は、古典系におけるガウス過程の持つ性質を量子系に拡張したものに相当する。実際、分布が P n ( x 1 , ⋯ , x n ) = 1 det A exp ( − ∑ i , j A i j ( x i − ⟨ X i ⟩ ) ( x j − ⟨ X j ⟩ ) ) {\displaystyle P_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{\sqrt {\det {A}}}}\exp {{\bigl (}-\sum _{i,j}A_{ij}(x_{i}-\langle X_{i}\rangle )(x_{j}-\langle X_{j}\rangle ){\bigr )}}} で与えられるガウス過程を考えると ⟨ X 1 X 2 ⋯ X n ⟩ = ∑ a l l p a r t i t i o n ∏ ⟨ X i 1 ⋯ X i m ⟩ c {\displaystyle \langle X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\rangle =\sum _{\operatorname {all\,\,partition} }\prod \langle X_{i_{1}}\cdots X_{i_{m}}\rangle _{c}} が成り立つ。ここで<…>はこの分布に対する期待値、<…>cはキュムラントを表すものとする。また、右辺の和は、X1,…,Xnをいくつかの集まりに分割する全ての組み合わせにわたってとるものである。例えば、3点相関関数、4点相関関数については、 ⟨ X 1 X 2 ⟩ = ⟨ X 1 X 2 ⟩ c + ⟨ X 1 ⟩ c ⟨ X 2 ⟩ c ⟨ X 1 X 2 X 3 ⟩ = ⟨ X 1 X 2 X 3 ⟩ c + ⟨ X 1 ⟩ c ⟨ X 2 X 3 ⟩ c + ⟨ X 2 ⟩ c ⟨ X 1 X 3 ⟩ c + ⟨ X 3 ⟩ c ⟨ X 1 X 2 ⟩ c + ⟨ X 1 ⟩ c ⟨ X 2 ⟩ c ⟨ X 3 ⟩ c {\displaystyle {\begin{aligned}\langle X_{1}X_{2}\rangle =&\langle X_{1}X_{2}\rangle _{c}+\langle X_{1}\rangle _{c}\langle X_{2}\rangle _{c}\\\langle X_{1}X_{2}X_{3}\rangle =&\langle X_{1}X_{2}X_{3}\rangle _{c}+\langle X_{1}\rangle _{c}\langle X_{2}X_{3}\rangle _{c}+\langle X_{2}\rangle _{c}\langle X_{1}X_{3}\rangle _{c}+\langle X_{3}\rangle _{c}\langle X_{1}X_{2}\rangle _{c}+\langle X_{1}\rangle _{c}\langle X_{2}\rangle _{c}\langle X_{3}\rangle _{c}\end{aligned}}} である。 さらに全てのXiについて、⟨Xi⟩=0であるとするならば、ブロッホ＝ドミニシスの定理と同様にn点相関関数は、nが偶数である場合のみゼロにならず、 ⟨ X 1 X 2 ⋯ X n ⟩ = ∑ a l l p a i r ∏ ⟨ X i X j ⟩ = ∑ P ′ ⟨ X i 1 X i 2 ⟩ ⟨ X i 3 X i 4 ⟩ ⋯ ⟨ X i n − 1 X i n ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\langle X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\rangle &=\sum _{\operatorname {all\,\,pair} }\prod \langle X_{i}X_{j}\rangle \\&=\sum _{P}'\langle X_{i_{1}}X_{i_{2}}\rangle \langle X_{i_{3}}X_{i_{4}}\rangle \cdots \langle X_{i_{n-1}}X_{i_{n}}\rangle \end{aligned}}} と2点相関関数の組み合わせ和に分解される。
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