母比率の検定・区間推定のとき

統計学用語辞典

母比率の検定・区間推定のとき

　信頼率 ( 1 - α ) のもとで，母比率 π を ± x の精度で推定するために必要な標本の大きさ n は，以下の式で見積もることができる。
　…… (1)
　式に出てくる母比率 π はなんらかの意味での推定値である。それまでに行われた似通った調査結果や，予備調査の結果から推定するとよい。もし，そのよう推定値がないときには，π = 0.5 を仮定するとよい。そのようにすれば，必要な精度を満たすための標本サイズの上限値が計算される。
例：
　類似の過去の調査結果から，母比率が 0.6 程度であると考えられる。このとき，信頼率 95% で母比率を ±10% の精度で推定するためにはどのくらいの標本が必要か。
答え：
α = 0.05 であるから，Zα / 2 = Z0.025 ≒ 1.96 となる。したがって，
　　n ≒ (1.96 / 0.1)² × 0.6 × 0.4 = 92.1984


(1)式はいろいろな教科書に載っているものであるが，検出力を指定できないので，場合によっては不都合である。
検出力を指定して必要な標本の大きさを求めるには，(2)式を使う。この式においては，p を標本比率とする（上と同じ記述法で言えば，π + x = p ということ）。
ちなみに，(1)式と(2)式を比較してみると，分子に Z β が含まれているかどうかの違いであり，上に示した式で得られるのは検出力が 50% のときのものであることがわかる（Zβ = Z0.5 = 0)。
　…… (2)
上の例題を，検出力 = 0.8 として解いてみよう。
1-β = 0.8 すなわち，β = 0.2 であるから，Zβ = Z0.2 ≒ 0.8416 となる。したがって，
　　n ≒ { [1.96 √(0.6 × 0.4) + 0.8416 √(0.7 × 0.3)] / 0.1}² = 181.1365

　　東京大学教養学部統計学教室編「基礎統計学III　自然科学の統計学」東京大学出版会