写像 基本概念

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写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:37 UTC 版)

基本概念

像・逆像

B′ を B の部分集合とするとき、f によって B′ に写される始域 A の元全体からなる集合 {a ∈ A  |  f(a) ∈ B′} を B′ の逆像または原像といい、f⁻¹(B′) で表す。

A の部分集合 X の元の f による像たちの全体からなる終域 B の部分集合 {f(a)  |  a ∈ X} を X の f による像といい、f[X], f″X などで表す。特に f の A による像 f[A] を f の値域 (range) と呼び、ran(f), Im(f) などで表す。つまり、写像 f: A → B あるいは G_f ⊆ A × B の値域 ran(f) は

$\operatorname {ran} (f)=\{y\mid \exists x((x,y)\in G_{f})\}\subseteq B$

全射であり単射でない。

単射であり全射でない。

全単射。

全射・単射・全単射

右全域性「f: A → B について ran(f) = B」が成り立つとき（つまり値域と終域が一致するとき）、f を A から B への全射という。

左一意性「A の任意の元 a₁, a₂ に対して、a₁ ≠ a₂ ならば f(a₁) ≠ f(a₂)」が成り立つとき、 f を単射という。包含写像は単射である。単射の制限写像も単射である。

A から B への全射 f がさらに単射でもあるとき、f は A から B への全単射であると言われる。定義域を A とする任意の単射 f はあきらかにその値域 f(A) への全単射である。

逆写像

f を A から B への全単射とする。そのとき、 B の元 b に対して、 f(a) = b であるような A の元 a がちょうど1つ存在する。そこで、 B の元 b にそのような A の元 a を対応させる B から A への写像を f の逆写像といい、f⁻¹ と表す。定義より次が成り立つ：

f⁻¹ : B→A、　∀a∈A ∀b∈B ( f⁻¹(b) = a ⇔ f(a) = b )。

f⁻¹は B から A への全単射である。f⁻¹ の構成から、

$f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{A},\quad f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{B}$

であることが分かる。

関連概念および定理

A からそれ自身への全単射全体の集合を S(A) とすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは群をなす。特に A が n 個の元からなる有限集合の場合の S(A) を n 次対称群という。

f: A → B, g: C → D の合成 g ∘ f: A → D が定義可能で全単射であるとき、g が全射であることおよび f が単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。

• f: A → B が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）B から A への写像 r が存在して右可逆性 f ∘ r = id_B が成り立つ。この r のことを、f の右逆写像という。
• f: A → B （A ≠ ∅）が単射であるとき、B から A への写像 l が存在して左可逆性 l ∘ f = id_A が成り立つ。この l のことを、f の左逆写像という。

この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる；

写像 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、f が左逆写像を持つとき、f を単射という。