写像 写像の構成法

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写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:37 UTC 版)

写像の構成法

既知の写像から別の新たな写像を構成する方法をいくつか示す。

制限と延長

写像の定義域をより小さな部分集合に取り換えることで写像の制限 (restriction) または縮小が定義される。すなわち、写像 f: X → Y と部分集合 S ⊆ X が任意に与えられたとき、任意の s ∈ S に対して f|_S(s) := f(s) と置くことにより定義される写像 f|_S: S → Y を写像 f の S への（定義域の）制限と呼ぶ。写像 h の適当な制限が f に一致するとき、h は f の延長 (continuation) または拡大もしくは拡張 (extension) であるという。終域の制限や延長を考えることもある。また写像の制限の記号は誤解のおそれが無い限り省略されることも多い。

直和

ふたつの写像 f: X → Y, g: W → Y で、それらの定義域が交わりを持たない (X ∩ W = ∅) とき、これらのグラフの合併として写像の直和 f ⊕ g: X ∪ W → Y を定義する。これは具体的に

$(f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X)\\g(\xi )&(\xi \in W)\end{cases}}$

と書ける区分的に定義された写像である。より一般に、X ∩ W ≠ ∅ のとき、二つの写像の X ∩ W への制限が f|_X∩W = g|_X∩W を満たすとき、直和写像 f ⊕ g は well-defined で、

$(f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X\smallsetminus W)\\f|_{X\cap W}(\xi )=g|_{X\cap W}(\xi )&(\xi \in X\cap W)\\g(\xi )&(\xi \in W\smallsetminus X)\end{cases}}$

を満たす。直和 f ⊕ g は f, g の共通の延長として最小であり、直和のグラフはそれぞれの写像のグラフの合併である。直和は可換である。

さらに一般の場合に、f: X → Y の g: W → Y による上書き和 (override union) と呼ばれる g の延長 f ⊕ g: X ∪ W → Y が g および f|_X∖W のグラフの合併として与えられ、

$(f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X)\\g(\xi )&(\xi \in W\smallsetminus X)\end{cases}}$

と書ける。上書き和は一般には可換でない。

直積

ふたつの写像 f: X → Z, g: Y → W に対して、写像の直積 f × g: X × Y → Z × W は

$(f\times g)(x,y):=(f(x),g(y))\quad (x\in X,\,y\in Y)$

で与えられる。

商と標準分解

任意の写像 f: X → Y に対し、X 上の二項関係 ∼_f を

$a\sim _{f}b\iff f(a)=f(b)$

で定めると ∼_f は同値関係で、写像 f に付随する同値関係と呼ばれる。この同値関係による類別を考えることにより X は等位集合 C(y) = f⁻¹(y) (y ∈ Y) の和に分割される。このとき、商集合 X/∼_f からの写像

$\varphi \colon X/{\sim _{f}}\to \operatorname {ran} (f)(\subset Y);\;C(y)\mapsto y$

は well-defined で、f の同値関係 ∼_f による商写像あるいは f に付随する全単射と呼ぶ。写像系列

$f\colon X{\stackrel {\pi }{{}\twoheadrightarrow {}}}X/{\sim _{f}}{\stackrel {\varphi }{{}\to {}}}\operatorname {ran} (f){\stackrel {\iota }{{}\hookrightarrow {}}}Y,$

あるいは等式 f = ι ∘ φ ∘ π （ただし、π は自然な全射、ι は自然な単射）を写像 f の標準分解と呼ぶ。