直感的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/21 13:23 UTC 版)
主成分分析は与えられたデータを n 次元の楕円体にフィッティングするものであると考えることができる。このとき、それぞれの主成分は楕円体の軸に対応している。楕円体の軸が短いほどデータの分散は小さく、短い軸に対応する主成分を無視することで、データの分散と同程度に小さな情報の損失だけで、データをより少ない変数で表現することができる。 楕円体の軸を見つけるには、データの平均を座標軸の原点に合わせる必要がある。そのため、データの共分散行列を計算し、共分散行列に対する固有値と固有ベクトルを計算する。また、それぞれの固有ベクトルを直交化し、正規化する必要がある。固有ベクトルの組として互いに直交する単位ベクトルが得られたなら、それらに対応する軸を持つ楕円体によってデータをフィッティングすることができる。それぞれの軸に対する寄与率（proportion of the variance: 分散の比）は、その軸に対応する固有ベクトルに対する固有値を、すべての固有値の和で割ったものとして得ることができる。 注意すべき点として、分散はデータのスケールに依存するため、主成分分析の結果はデータをスケール変換することで変わり得るということが挙げられる。
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直感的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/14 06:38 UTC 版)
「ミンコフスキーの疑問符関数」の記事における「直感的な説明」の解説
上記の定義を直感的に理解するために、0で始まる無限ビット列を [0, 1] 内の実数と解釈する、2つの相異なる解釈方法を考える。 まず明白な方法は、最初の0の後に2進小数点を置き、二進小数として読む方法である。たとえば、ビット列 001001001001001001001001... は、2進数 0.010010010010... すなわち 2/7 を表す。 別の方法は、ビット列を連分数 [0; a1, a2, …] とみなす方法である。ここで整数 ai は、ビット列を連長圧縮したときの連続回数である。この場合、先ほどと同じビット列 001001001001001001001001...は [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] = √3 − 1/2 に対応する。もしビット列で同じビットが無限に続いて終わる場合、それを無視して連分数表現を終了する。この操作の妥当性は以下の恒等式に基づく。 [0; a1, …, an, ∞] = [0; a1, …, an + 1/∞] = [0; a1, …, an + 0] = [0; a1, …, an]. [0, 1] に対する疑問符関数は、カントール関数が三進法表現を二進法表現に写すのと同様に、先程のビット列の2つ目の解釈方法を同じ列の1つ目の解釈方法に写すものと理解できる。先程のビット列を例に挙げると、以下の等式が成り立つ。 ? ( 3 − 1 2 ) = 2 7 {\displaystyle \operatorname {?} \left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}\right)={\frac {2}{7}}}
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直感的な説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 02:14 UTC 版)
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。 地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。 地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図（局所座標系）が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか？という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ)の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。 多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。
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