ファジィ集合の基本演算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:33 UTC 版)
「ファジィ集合」の記事における「ファジィ集合の基本演算」の解説
この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字（特殊な演算子記号）が含まれています（詳細）。 通常の集合の各基本演算に対応するファジィ集合の基本演算がそれぞれ定義されている。 ファジィ理論では特にメンバシップ関数の大小が大きく影響するので、 a ∧ b = def min ( a , b ) {\displaystyle a\wedge b{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\min(a,b)} a ∨ b = def max ( a , b ) {\displaystyle a\vee b{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\max(a,b)} とあらかじめ定義される。このときファジィ集合を A , B {\displaystyle A,B} と各メンバシップ関数を μ A ( x ) , μ B ( x ) {\displaystyle \mu _{A}(x),\mu _{B}(x)} とおくと各演算は 和集合 A ∪ B ⟺ def μ A ∪ B ( x ) := μ A ( x ) ∨ μ B ( x ) {\displaystyle A\cup B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A\cup B}(x):=\mu _{A}(x)\vee \mu _{B}(x)} 共通集合 A ∩ B ⟺ def μ A ∩ B ( x ) := μ A ( x ) ∧ μ B ( x ) {\displaystyle A\cap B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A\cap B}(x):=\mu _{A}(x)\wedge \mu _{B}(x)} 補集合 A ¯ ⟺ def μ A ¯ ( x ) := 1 − μ A ( x ) {\displaystyle {\overline {A}}{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{\overline {A}}(x):=1-\mu _{A}(x)} となるメンバシップ関数をもつ集合と定義される。また対等関係、包含関係は以下のように表す。 相等関係 A = B ⟺ def μ A ( x ) = μ B ( x ) , ∀ x ∈ X {\displaystyle A=B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x),\forall x\in X} 包含関係 A ⊆ B ⟺ def μ A ( x ) ≤ μ B ( x ) , ∀ x ∈ X {\displaystyle A\subseteq B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x),\forall x\in X} ここで X {\displaystyle X} は全体集合のことである。これらの定義からファジィ集合には以下の定理が成り立つことが証明されている。 二重否定 A ¯ ¯ = A {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}=A} ド・モルガンの法則 A ∪ B ¯ = A ¯ ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}} A ∩ B ¯ = A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}} また、ファジィ集合独自の演算として以下のようなものが定義されている。 代数和 A ⊞ B , A ∔ B , A + B ⟺ def μ A + B ( x ) := μ A ( x ) + μ B ( x ) − μ A ( x ) ⋅ μ B ( x ) {\displaystyle A\boxplus B,\quad A\dotplus B,\quad A+B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A+B}(x):=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\cdot \mu _{B}(x)} 代数積 A ⋅ B ⟺ def μ A ⋅ B ( x ) := μ A ( x ) ⋅ μ B ( x ) {\displaystyle A\cdot B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A\cdot B}(x):=\mu _{A}(x)\cdot \mu _{B}(x)} 限界和 A ⊕ B ⟺ def μ A ⊕ B ( x ) := ( μ A ( x ) + μ B ( x ) ) ∧ 1 {\displaystyle A\oplus B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A\oplus B}(x):=(\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x))\wedge 1} 限界差 A ⊖ B ⟺ def μ A ⊖ B ( x ) := ( μ A ( x ) − μ B ( x ) ) ∨ 0 {\displaystyle A\ominus B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A\ominus B}(x):=(\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x))\vee 0} 限界積 A ⊙ B , A ⊗ B ⟺ def μ A ⊗ B := ( μ A ( x ) + μ B ( x ) − 1 ) ∨ 0 {\displaystyle A\odot B,\quad A\otimes B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A\otimes B}:=(\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1)\vee 0} 激烈和 A ∨ ˙ B ⟺ def μ A ∨ ˙ B ( x ) := { μ A ( x ) , if μ B ( x ) = 0 μ B ( x ) , if μ A ( x ) = 0 1 , otherwise {\displaystyle A{\dot {\vee }}B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A{\dot {\vee }}B}(x):={\begin{cases}\mu _{A}(x),&{\text{if }}\mu _{B}(x)=0\\\mu _{B}(x),&{\text{if }}\mu _{A}(x)=0\\1,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 激烈積 A ∧ ˙ B ⟺ def μ A ∧ ˙ B ( x ) := { μ A ( x ) , if μ B ( x ) = 1 μ B ( x ) , if μ A ( x ) = 1 0 , otherwise {\displaystyle A{\dot {\wedge }}B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A{\dot {\wedge }}B}(x):={\begin{cases}\mu _{A}(x),&{\mbox{if }}\mu _{B}(x)=1\\\mu _{B}(x),&{\mbox{if }}\mu _{A}(x)=1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
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