誤差関数 関連する関数

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誤差関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/29 14:02 UTC 版)

関連する関数

誤差関数は正規分布の累積分布関数(CDF)$\Phi$

一般化された誤差関数$E_{n}\left(x\right)$のグラフ:
灰色: $E_{1}\left(x\right)={\frac {\left(1-\exp ^{-x}\right)}{\sqrt {\pi }}}$
赤: $E_{2}\left(x\right)=\operatorname {erf} \left(x\right)$
緑: $E_{3}\left(x\right)$
青: $E_{4}\left(x\right)$
金: $E_{5}\left(x\right)$

書籍によっては、より一般化した関数を論じている場合もある。

$E_{n}\left(x\right)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,$

例えば、

• $E_{0}\left(x\right)$は原点を通る直線$E_{0}\left(x\right)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}$ となる。
• $E_{2}\left(x\right)$は誤差関数$\operatorname {erf} \left(x\right)$である。

$n!$で割ると、奇数の$n$についての$E_{n}$は互いに似たようなものになる（完全に一致する事は無い）。 同様に、偶数の$n$についての$E_{n}$も$n!$で割ると互いに似たものになる（完全に一致する事は無い）。 $n>0$での全ての一般化された誤差関数の$x$が正のときのグラフは互いに似ている。

これらの一般化された誤差関数も x > 0 の場合にガンマ関数と不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。

$E_{n}\left(x\right)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0$

従って、誤差関数は不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。

$\operatorname {erf} \left(x\right)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}$

相補誤差関数の累次積分

相補誤差関数の累次積分は次のように定義される。

$\mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta \,$

これらには次のような冪級数がある。

$\mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,$

ここから次のような対称性が得られる。

$\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}$

および、

$\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,$