相補誤差関数の累次積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 15:19 UTC 版)
相補誤差関数の累次積分は次のように定義される。 i n erfc ( z ) = ∫ z ∞ i n − 1 erfc ( ζ ) d ζ {\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta \,} これらには次のような冪級数がある。 i n erfc ( z ) = ∑ j = 0 ∞ ( − z ) j 2 n − j j ! Γ ( 1 + n − j 2 ) {\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,} ここから次のような対称性が得られる。 i 2 m erfc ( − z ) = − i 2 m erfc ( z ) + ∑ q = 0 m z 2 q 2 2 ( m − q ) − 1 ( 2 q ) ! ( m − q ) ! {\displaystyle \mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-\mathrm {i} ^{2m}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}} および、 i 2 m + 1 erfc ( − z ) = i 2 m + 1 erfc ( z ) + ∑ q = 0 m z 2 q + 1 2 2 ( m − q ) − 1 ( 2 q + 1 ) ! ( m − q ) ! {\displaystyle \mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=\mathrm {i} ^{2m+1}\operatorname {erfc} \,(z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,}
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