組成列 一般化

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組成列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 14:45 UTC 版)

一般化

作用域をもつ群は群に対する群の作用と環の作用を一般化する。(Isaacs 1994, Chapter 10) にあるように群と加群との両方に対して統一的にアプローチすることができ、説明のいくつかが簡単になっている。群 G を集合 Ω から元（作用素）によって作用されていると考える。注意は Ω の元の作用で不変な部分群（Ω-部分群と呼ばれる）のみに制限される。したがって Ω-組成列は Ω-部分群のみを使わなければならず、Ω-組成因子は Ω-単純であるだけでよい。ジョルダン・ヘルダーの定理のような、上記の標準的な結果は、ほとんど同一の証明によって証明される。

特別なケースとして Ω = G であって G がそれ自身に作用しているときがある。重要な例は G の元が共役で作用して作用素の集合が内部自己同型からなるときである。この作用のもとでの組成列はちょうど主組成列である。加群の構造は Ω が環であっていくつか追加の公理を満たすときの Ω-作用のケースである。

アーベル圏の対象に対して

アーベル圏において対象 X の組成列は部分対象の列

$X=X_{n}\supsetneq \dots \supsetneq X_{0}=0$

であって、（1 ≤ i ≤ n に対して）各商対象 X_i /X_i−1 が単純対象であるようなものである。X が組成列をもてば、整数 n は X のみに依存し、X の長さと呼ばれる。