分子動力学法

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歴史

モンテカルロシミュレーションの先行する成功に続いて、1950年代末にアルダーとウェインライトによって^[1]、1960年代にラーマンによって^[2]それぞれ独立にMD法が開発された。1957年、アルダーおよびウェインライトは剛体球間の弾性衝突を完全にシミュレーションするためにIBM 704計算機を使用した^[1]。1960年、ギブソンらはボルン＝マイヤー型の反発相互作用と凝集面積力を用いることによって固体銅の放射線障害をシミュレーションした^[5]。1964年、ラーマンはレナード＝ジョーンズ・ポテンシャルを利用した液体アルゴンの画期的シミュレーションを発表した。自己拡散係数といった系の性質の計算は実験データと遜色がなかった^[2]。

年表

1957年：剛体球の分子動力学法（Alder and Wainwright←最初のMD）
1964年：質点系への拡張 (Rahman)
1971年：剛体系への拡張 (Rahman and Stillinger)
1977年：拘束系への拡張（Rychaert等）
1980年：定圧条件の導入（Andersenの方法、Parrinello-Rahman法）
1983年：非平衡系への拡張 (Gillan and Dixon)
1984年：定温条件の導入（能勢＝フーバーの方法）
1985年：第一原理分子動力学法（→カー・パリネロ法）
1991年：大正準集団（集合）系への拡張 (Cagin and Pettit)

応用領域

理論物理学分野で始まったMD法は材料科学において人気を得て、1970年代からは生化学および生物物理学での人気を得ている。MDはX線結晶構造解析あるいはNMR分光法から得られた実験的拘束情報に基づいてタンパク質やその他の高分子の三次元構造を洗練するために頻繁に用いられる。物理学において、MDは薄膜成長やイオン-サブプランテーションといった直接観測することができない原子レベルの現象のダイナミクスを調べるために使われる。また、まだ作成されていないあるいは作成することができないナノテクノロジー装置の物理的性質を調べるためにも使われる。生物物理学および構造生物学では、MD法はリガンドドッキング、脂質二重膜のシミュレーション、ホモロジーモデリング、さらにランダムコイルからポリペプチド鎖の折り畳みをシミュレーションすることによってタンパク質構造をab initioに予測するためにも頻繁に適用されている。

シミュレーション設計の制約

分子動力学シミュレーションの設計は利用可能な計算機能力を考慮しなければならない。計算が合理的な時間で終了できるように、シミュレーションサイズ（n = 粒子の数）、時間ステップ、総シミュレーション時間が選択されなければならない。しかしながら、シミュレーションは調べる自然の過程の時間スケールにとって適切なように十分長くなければならない。シミュレーションから統計的に妥当な結論を得るためには、シミュレーションされる時間は自然の過程の速度論と一致しなければならない。さもなければ、MD法は人間が一歩進むよりも短い時間を観察して人間がどうやって歩くのかについて結論付けるのと同じである。タンパク質およびDNAの動力学に関するほとんどの科学論文はナノ秒（10⁻⁹ s）からマイクロ秒（10⁻⁶ s）のシミュレーションからのデータを用いている。これらのシミュレーションを得るためには、複数CPU日からCPU年が必要である。並列アルゴリズムによって負荷をCPU間で分散することができる。この例としては空間的分解アルゴリズムや力分解アルゴリズムがある^[6]。

古典的MDシミュレーションの間、CPUを消費するほとんどのタスクは粒子の内部座標の関数としてのポテンシャルの評価である。このエネルギー評価内で最も計算コストが高いのが非結合（非共有結合）部分である。ランダウのO-記法では、全ての対静電相互作用およびファンデルワールス相互作用があらわに考慮されるとすると、一般的な分子動力学シミュレーションは $O(n^{2})$ でスケールする。この計算コストは粒子メッシュエバルト (PME) 法（ $O(n\log(n))$ ）、P3M法あるいはより球面カットオフ手法（ $O(n)$ ）といった静電的手法を利用することによって低減することができる。

シミュレーションに必要な総CPU時間に影響を与えるもう一つの要素は、積分時間ステップの大きさである。これはポテンシャルの評価の間の時間の長さである。時間ステップは離散化誤差を避けるのに十分小さいように（すなわち系の最も速い振動周波数よりも小さく）選ばれなければならない。古典的MDの典型的な時間ステップは1フェムト秒（10⁻¹⁵ s）のオーダーである。この値はSHAKE〔最も速い原子（例えば水素）の振動を空間に固定する〕といったアルゴリズムを用いることによって延ばすことができる。複数の時間ステップ法が開発されており、これらによってより遅い長距離力の更新の間隔を延ばすことができる^[7]^[8]^[9]。

溶媒中の分子のシミュレーションでは、露な溶媒（陽溶媒）と露でない溶媒（陰溶媒）のどちらかを選択しなければならない。陽溶媒粒子（TIP3P、SPC/E、SPC-f水モデルなど）は力場によって計算コストを掛けて計算しなければならないのに対して、陰溶媒は平均力手法を用いる。陽溶媒は計算コストが高く、シミュレーション中におよそ10倍を超える粒子を含む必要がある。しかし、陽溶媒の粒度と粘度は溶質分子の特定の性質を再現するために必須である。これは運動力学を再現するために特に重要である。

分子動力学シミュレーションの全ての種類において、シミュレーションの箱の大きさは境界条件アーティファクトを避けるのに十分な程大きくなければならない。境界条件は、端において固定された値を選択することによって、あるいは周期境界条件（シミュレーションの一方がその逆側につながることによてバルク相を模倣する）を採用することによってしばしば扱われる。

小正準集団（NVE）

小正準（ミクロカノニカル、NVE）集団（アンサンブル）において、系はモル（N）、容積（V）、エネルギー（E）の変化から分離される。これは熱交換のない断熱過程に対応する。ミクロカノニカル分子動力学トラクジェクトリは全エネルギーが保存されたポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの交換として見ることができる。座標 $X$ と $V$ を持つ速度N個の粒子の系では、一次微分方程式の対をニュートンの記法で以下のように書くことができる。

F(X)=-\nabla U(X)=M{\dot {V}}(t)

V(t)={\dot {X}}(t).

系のポテンシャルエネルギー関数 $U(X)$ は、粒子の座標 $X$ の関数である。これは物理学では「ポテンシャル」、化学では「力場」と単に呼ばれる。最初の方程式はニュートンの法則（系中の個々の粒子に作用する力 $F$ は $U(X)$ の負の勾配として計算できる）から来ている。

全ての時間ステップについて、個々の粒子の位置 $X$ および速度 $V$ はVerlet法といったシンプレティック法を用いて積分することができる。 $X$ および $V$ の時間発展はトラジェクトリと呼ばれる。初期位置（例えば理論上の知見から）および初期速度（例えばランダム化ガウシアンから）が与えられれば、未来（あるいは過去）の全ての位置および速度を計算することができる。

よくある混乱の源の一つはMDにおける温度の意味である。一般に、我々が経験しているのは膨大な数の粒子を含む巨視的温度である。しかし温度は統計的量である。もし、十分大きな数の原子が存在すれば、統計的温度は「瞬間温度」から見積ることができる。これは、系の運動エネルギーをnk_BT/2（kBはボルツマン定数、nは系の自由度の数）と同じと見なすことで得られる。

温度に関連した現象はMDシミュレーションで使われる少数の原子が原因で生じる。例えば、500原子を含む基質と100 eVの蒸着エネルギーから開始される銅薄膜の成長のシミュレーションを考える。現実世界では、蒸着した原子からの100 eVは多数の原子（ $10^{10}$ 以上）の間ですばやく輸送、共有され、温度に大きな変化は生じない。しかしながら、わずか500原子しかない時は、基質は蒸着によってほぼすぐに蒸発する。生物物理学シミュレーションでも似た事例が起こる。NVEにおける系の温度はタンパク質といった高分子が発熱的なコンホメーション変化や結合を起こす時に自然に上昇する。

正準集団（NVT）

正準集団（カノニカルアンサンブル）では、物質の量（N）、容積（V）、温度（T）が保存される。これは等温分子動力学（constant temperature molecular dynamics、CTMD）と呼ばれることもある。NVTでは、吸熱的過程と発熱的過程のエネルギーはサーモスタット（温度調整器）によって交換される。

MDシミュレーションの境界にエネルギーを加えたり取り除いたりするための様々なサーモスタットアルゴリズムが利用可能であり、カノニカルアンサンブルを近似する。温度を制御するための人気のある手法には、速度リスケーリング（V-rescale）、能勢＝フーバー・サーモスタット、能勢＝フーバー・チェイン、ベレンゼン・サーモスタット、アンダーセン・サーモスタット、ランジュバン動力学がある。ベレンゼン・サーモスタットはフライングアイスキューブ効果を発生する可能性があることに留意すべきである。

これらのアルゴリズムを用いてコンホメーションや速度のカノニカル分布を得るのは簡単ではない。これが系の大きさ、サーモスタットの選択、サーモスタットのパラメータ、時間ステップ、積分器にいかに依存するかは、この分野の多くの論文のテーマとなっている。

等温定圧（NPT）集団

等温定圧集団（アンサンブル）では、物質の量（N）、圧力（P）、温度（T）が保存される。サーモスタットに加えて、バロスタット（圧力調整器）が必要である。NPTアンサンブルは、気温と大気圧に開放されているフラスコを用いた実験室条件に最も密接に対応している。

生物膜のシミュレーションでは、等方性圧力制御は適切ではない。脂質二重膜については、圧力制御は定膜面積（NPAT、Aは面積）あるいは定表面張力γ（NPγT）下で行なわれる。

拡張アンサンブル法

レプリカ交換法は拡張アンサンブルである。これは元々、無秩序なスピン系の遅い動力学を扱うために作られた。並列焼きもどし（parallel tempering）法とも呼ばれる。レプリカ交換MD（REMD）法^[10]は、複数の温度で走らせた系の非相互作用レプリカの温度を交換することによって多重極小問題を克服しようと試みている。

脚注

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