部分和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/06 09:58 UTC 版)
発散する調和級数の第 n 部分和 H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} は第 n 調和数 と呼ばれる。これは以下の性質を持つ。 n 番目の調和数 Hn と ln n との差は、オイラー・マスケローニ定数 γ に収束する。 相異なる番号の調和数同士の差は決して整数にはならない。 n = 1 を除いてどの調和数も整数でない。
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部分和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/03 16:17 UTC 版)
a ≠ 1 で、常に r = b/(1 – a) と書くことにすれば、最初の n 項（第 0-項から第 (n − 1)-項まで）の和は S n = ∑ k = 0 n − 1 u k = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr} で与えられる。 証明 前節の一般項の式に従えば、幾何数列の部分和の公式も用いて、 ∑ k = 0 n − 1 u k = ∑ k = 0 n − 1 ( a k ( u 0 − r ) + r ) = ( u 0 − r ) ( ∑ k = 0 n − 1 a k ) + n r = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}} これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 n > p として ∑ k = p n − 1 u k = S n − S p = ( u 0 − r ) a p − a n 1 − a + ( n − p ) r {\displaystyle \sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r} となる。
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