基本帰納法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/15 10:26 UTC 版)
超現実数変数の指数函数を定めるための帰納ステップは、実指数函数の場合の級数展開 exp(x) = ∑n≥0xn⁄n! に基づく。より具体的には、展開を途中で切った部分和が（基本的な代数学的操作のみで）残りの項の和よりも小さい正の値となることが示せる事実を利用する。正の x については [x]n と書いて全ての部分和を含める。x が負の有限値のときは [x]2n+1 が初期値を実数成分が正の級数（常に存在する）としたときの奇数番目の部分和を表すものとする。負の無限大 x については、奇数番目の部分和だけ見れば狭義単調減少で [x]2n+1 は空集合となるが、これはこの帰納法においてこれらの元が必要ないということに対応するので問題ない。 利用する関係式は、x < y なる実数に対して exp(x)⋅[y − x]n < exp(y) および exp(y)⋅[x − y]2n+1 < exp(x) が成り立つこと、またこれは exp ( z ) := { 0 , exp ( z L ) ⋅ [ z − z L ] n , exp ( z R ) ⋅ [ z − z R ] 2 n + 1 ∣ exp ( z R ) / [ z R − z ] n , exp ( z L ) / [ z L − z ] 2 n + 1 } {\displaystyle \exp(z):=\{0,\exp(z_{L})\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp(z_{R})\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp(z_{R})/[z_{R}-z]_{n},\exp(z_{L})/[z_{L}-z]_{2n+1}\}} なる定義のもとで超現実数を引数とするものへ延長することができる。これは任意の超現実数引数に対して矛盾なく定義される（つまり、この右辺の値は超現実数として存在して、その値は zL, zR の選び方に依らない）。
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