チャーン類
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数学では、特に代数トポロジーや微分位相幾何学や代数幾何学では、チャーン類(Chern classes)は複素ベクトル束に付随する特性類である。
チャーン類は、Shiing-Shen Chern (1946) で導入された。
幾何学的アプローチ
基本的アイデアと動機
チャーン類は特性類である。チャーン類は滑らかな多様体のベクトル束に付随する位相不変量である。2つの表向きは異なるベクトル束が同じか否かという疑問は、答えることが非常に難しい。チャーン類は、簡単な検証法を提供する。もし2つのベクトル束のチャーン類が一致しなければ、ベクトル束は異なる。しかし、逆は正しくはない。
トポロジーや微分幾何学や代数幾何学では、しばしば、ベクトル束がいくつの線型独立な切断を持つのかを数えることが重要となる。チャーン類は、例えばリーマン・ロッホの定理やアティヤ・シンガーの指数定理を通して、線型独立な切断の数についていくつかの情報をもたらす。
チャーン類は、実用的な計算にとっても妥当性を持っている。微分幾何学では（また、ある種の代数幾何学では）、チャーン類は曲率形式の係数の多項式として表すことができる。
チャーン類の構成
この問題へのアプローチには数々の方法があり、それらの各々はチャーン類の少しずつ異なる側面に焦点を当てている。
チャーン類への元々のアプローチは、代数トポロジーを通してであった。チャーン類は、分類空間への V からの写像（この場合には、無限グラスマン多様体(Grassmannian)である）を提供するホモトピー論を通して発生する。多様体上の任意のベクトル束 V は、分類空間の上の普遍束の引き戻しとして実現される。従って、V のチャーン類は、普遍束のチャーン類の引き戻しとして定義することができる。これらの普遍チャーン類はシューベルトサイクル(Schubert cycle)によって、明示的に書き下すことができる。
チャーンのアプローチは、微分幾何学を使っていて、この記事において主として述べられる曲率のアプローチを使っていた。彼は以前の定義が実は彼の定義と同値であることを示した。
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチもあり、彼は線束の場合の定義のみが公理論的に必要であることを示した。
チャーン類は代数幾何学で自然に発生した。代数幾何学での一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体の上のベクトル束（さらに詳しくは、局所自由層）に対して定義することができる。代数幾何学的なチャーン類は、基礎となる多様体が何らかの特別な性質を持っていることを要求しない。特に、ベクトル束は複素数である必要はない。
特別なことを考えずに、チャーン類の直感的な意味をベクトル束の切断(section)の｢ゼロ点を要求する｣ことに関係付ける。例えば、髪の毛の生えたボールを櫛で完全にとかすことはできないという定理のようなものです（毛の生えたボールの定理(hairy ball theorem)）。[1]これは厳密に言うと、実 ベクトル束（ボールの上の｢髪の毛｣は、実際には直線のコピーである）についての質問であるにもかかわらず、髪の毛が複素数である場合、あるいは他の多くの場の上の 1-次元射影空間に対し、一般化できる（以下の複素数の髪の毛のボールの定理の例を参照）。
さらなる議論はチャーン・サイモンズ理論を参照。
線束のチャーン類
- 層の理論での記述は、指数層系列を参照。
V が線束のときが、非常に重要な場合である。非自明なチャーン類のみが第一チャーン類であり、X の二次コホモロジー群の元のことである。チャーン類の先頭として、第一チャーン類は線束のオイラー類に等しい。
トポロジー的には、第一チャーン類は、複素線束の分類に使う完備不変量(complete invariant)である。すなわち、X の上の線束の同型類と H2(X;Z) の元の間には全単射が存在し、第一チャーン類を線束とを結び付ける。[2]
代数幾何学では、このチャーン類による複素線束の（同型類の）分類は、因子の線型同値(linear equivalence)類による正則線束の（同型類の）分類に、実際には非常に近い存在である。
次元が 1 よりも大きな複素ベクトル束では、チャーン類は完備不変量ではない。
チャーン・ヴェイユ理論でのチャーン類
微分可能多様体 M の上の複素ランク（複素階数） n のエルミートである複素ベクトル束 V が与えられると、V の各々のチャーン類の表現（チャーン形式とも言う） ck(V) は、V の曲率形式 Ω の特性多項式を係数として与えられる。
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