古典的な公理的な定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 22:27 UTC 版)
チャーン類は次の公理を満たす。 公理 1.： 全ての V に対して、 c 0 ( V ) = 1 {\displaystyle c_{0}(V)=1} である。 公理 2.： 自然さ( Naturality) f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} が連続で、f*V が V のベクトル束の引き戻し（英語版）であれば、 c k ( f ∗ V ) = f ∗ c k ( V ) {\displaystyle c_{k}(f^{*}V)=f^{*}c_{k}(V)} である。 公理 3. ホイットニーの和公式： W → X {\displaystyle W\to X} を別の複素ベクトル束とすると、ベクトル束の直和 V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} のチャーン類は、次で与えられる。 c ( V ⊕ W ) = c ( V ) ⌣ c ( W ) {\displaystyle c(V\oplus W)=c(V)\smile c(W)} すなわち、 c k ( V ⊕ W ) = ∑ i = 0 k c i ( V ) ⌣ c k − i ( W ) {\displaystyle c_{k}(V\oplus W)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(V)\smile c_{k-i}(W)} である。 公理 4. ： 正規化(Normalization) CPk 上のトートロジカル線束（英語版）(tautological line bundle)の全チャーン類は、1−H であり、ここに H は超平面 C P k − 1 ⊆ C P k {\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k}} のポアンカレ双対とする。
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