2つの定義式が等しいことの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 05:19 UTC 版)
「終結式」の記事における「2つの定義式が等しいことの証明」の解説
多項式 f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 (an ≠ 0) の重複を含めた根を α1, …, αn, g(x) = bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 (bm ≠ 0) の重複を含めた根を β1, …, βm とするとき、次の等式が成り立つ： a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) = | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 | {\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}} （対角成分に an が m個、b0 が n個） ここでは、文献に掲載されている方法により証明する。 （証明） A := [ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 ] {\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{bmatrix}}} とおく。A の第1～m行を an で、第(n + 1)～(m + n)行を bm で割ると、根と係数の関係より、成分は、0 か 1 か、α1, …, αn または β1, …, βm の基本対称式になる。 故に 1 a n m b m n | A | {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|} は、α1, …, αn; β1, …, βm の多項式である。 αi = βj の時を考える。αi = βj =: λ とし、 x := t ( λ n + m − 1 , ⋯ , λ , 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}:={}^{t}(\lambda ^{n+m-1},\cdots ,\lambda ,1)} （t は転置を表す） とおく。 ∑ i = 0 n a i λ i = ∑ j = 0 m b j λ j = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}a_{i}\lambda ^{i}=\sum \limits _{j=0}^{m}b_{j}\lambda ^{j}=0} より、 A x = o {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}} （ o {\displaystyle {\boldsymbol {o}}} は零ベクトル） x ≠ o {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {o}}} より、この斉次連立方程式には非自明な解が存在するから、係数行列は非正則である： | A | = 0 {\displaystyle |A|=0} 1 a n m b m n | A | {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|} は、αi = βj のとき多項式として 0 になるから、因数定理より、αi − βj を因数に持つ： 1 a n m b m n | A | = c ∏ i , j ( α i − β j ) {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|=c\,\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})} 両辺の (β1 β2 … βm)n の係数を比較すると、c = 1 ∴ | A | = a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) ◼ {\displaystyle \therefore \ |A|={a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \blacksquare }
※この「2つの定義式が等しいことの証明」の解説は、「終結式」の解説の一部です。
「2つの定義式が等しいことの証明」を含む「終結式」の記事については、「終結式」の概要を参照ください。
- 2つの定義式が等しいことの証明のページへのリンク
