高次元の場合における体積の評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 06:24 UTC 版)
「超球の体積」の記事における「高次元の場合における体積の評価」の解説
R を固定して考えるとき、半径 R の n-次元球体の体積は n が無限大へ近づく極限において零に近づく。これは二次元の漸化式を用いて示すことができる。実際、各段階において体積に掛かる新しい因子は .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄n に比例し（比例定数 2πR2 は n に依らないことに注意せよ）、最終的には n が十分大きければこの新しい因子は 1 よりも小さくなる。それにより、n-次元球体の体積は少なくとも幾何級数的に減少しなければならず、従ってそれは零に収斂する。同様の証明は一次元の漸化式を用いても示すことができる。この場合は、新しい因子はガンマ函数の商に比例する。ゴーチの不等式（英語版）はこの商を n−1/2 で上から抑えるものである。体積が少なくとも幾何級数的に減少することを示すという論法は、先と同じである。 体積の高次元における振る舞いのより詳細な記述は、スターリング近似を用いて与えられる。これにより漸近公式 V n ( R ) ∼ 1 n π ( 2 π e n ) n / 2 R n {\displaystyle V_{n}(R)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{n/2}R^{n}} が導かれる。この近似における誤差は 1 + O(n−1) の因子である。スターリングの近似は実はガンマ函数の下からの評価であり、従って上記の式は上界を与えている。これにより n-次元球体の体積が指数函数的に減少することの別証明が得られる（n が十分大きいとき、因子 R√2πe/n は 1 より小さく、従って先ほどと同じ論法が適用できる）。
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