重み付き Lp 空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/11 09:20 UTC 版)
再び、測度空間 (S, Σ, μ) を考える。 w : S → [ 0 , + ∞ ) {\textstyle w\colon S\to [0,+\infty )} をある可測函数とする。w で重み付けられた Lp 空間は、Lp(S, w dμ) と定義される。ここで、w dμ は ν ( A ) ≡ ∫ A w ( x ) d μ ( x ) , ( A ∈ Σ ) {\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,d\mu (x),\quad (A\in \Sigma )} あるいは、ラドン＝ニコディム微分 w = d ν d μ {\displaystyle \ w={\frac {d\nu }{d\mu }}} について定義される測度 ν を意味する。 Lp(S, w dμ) のノルムは、陽的には ‖ u ‖ L p ( S , w d μ ) ≡ ( ∫ S w ( x ) | u ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 p {\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,d\mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,d\mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}} と与えられる。Lp(S, w dμ) と Lp(S, dν) は等しいため、Lp-空間としての重み付けられた空間には特に変わった点は無い。しかし、それらは調和解析におけるいくつかの結果に対する基本的な構成要素である。それらは例えばミュッケンハウプトの定理（英語版）に現れる：1 < p < ∞ に対して、古典的なヒルベルト変換は Lp(T, λ) 上で定義される。ただし T は単位円板を表し λ はルベーグ測度を表す。（非線型）ハーディ＝リトルウッドの極大作用素（英語版）は Lp(Rn, λ) 上で有界である。ミュッケンハウプトの定理は、ヒルベルト変換が Lp(T, w dλ) 上で有界であり、また極大作用素が Lp(Rn, w dλ) 上で有界であるような重み w について述べている。
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