超関数の偏微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「超関数の偏微分」の解説
超関数に対する偏微分の概念を定義する為、まずはC∞0(Ω)の元の偏微分に関して簡単な考察をする。φ、ψをC∞0(Ω)の２つの元とするとき、C∞0(Ω)の定義よりφ(x)、ψ(x)が0でないxの集合は有界閉集合であるのに対し、ΩをRdの開集合であるので、Ωの境界上ではφ(x)、ψ(x)は0になる。よって微分積分学の基本定理から、 ∫ Ω ∂ x i ( ψ ( x ) ϕ ( x ) ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}(\psi (x)\phi (x))\mathrm {d} x=0} が成立する。よってライプニッツルールにより ⟨ ∂ x i ψ , ϕ ⟩ = ∫ Ω ∂ x i ( ψ ( x ) ) ϕ ( x ) d x {\displaystyle \langle \partial _{x_{i}}\psi ,\phi \rangle =\int _{\Omega }\partial _{x_{i}}(\psi (x))\phi (x)\mathrm {d} x} = − ∫ Ω ψ ( x ) ∂ x i ( ϕ ( x ) ) d x = − ⟨ ψ , ∂ x i ϕ ⟩ {\displaystyle =-\int _{\Omega }\psi (x)\partial _{x_{i}}(\phi (x))\mathrm {d} x=-\langle \psi ,\partial _{x_{i}}\phi \rangle } が成立する。そこで上式を参考にして、超関数の偏微分を以下のように定義する： 定義 (デルタ超関数) ― 超関数Tの偏微分を ∂ x i T ( ϕ ) = ⟨ ∂ x i T , ϕ ⟩ := − ⟨ T , ∂ x i ϕ ⟩ {\displaystyle \partial _{x_{i}}T(\phi )=\langle \partial _{x_{i}}T,\phi \rangle :=-\langle T,\partial _{x_{i}}\phi \rangle } により定義する。 C∞0(Ω)の元は無限回微分可能なので、上記の定義は常に意味を持つ。より一般に微分作用素を ( ∑ α : | α | ≤ m ψ α ( x ) ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x d α d ) T := ∑ α : | α | ≤ m ψ α ( x ) ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x d α d T {\displaystyle \left(\sum {}_{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\alpha _{d}}\right)T:=\sum {}_{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\alpha _{d}}T} も定義可能である。 ここで注意すべきことは、局所可積分関数ψそれ自身が偏微分不能な関数であっても、 ∂ x i T ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}T_{\psi }} は定義可能な事である。これはψの偏微分は通常の関数としては存在しなくとも、超関数の中にはψ（と同一視されるTψ）の偏微分が存在する事が原因である。紛れがなければ以下 ∂ x i T ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}T_{\psi }} の事を単に ∂ x i ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\psi } と書き、 ∂ x i ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\psi } をψの超関数としての偏微分と呼ぶ。 また通常の関数の場合、仮に二階偏微分可能であっても ∂ x i ∂ x j ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}\psi } と ∂ x j ∂ x i ψ {\displaystyle \partial _{x_{j}}\partial _{x_{i}}\psi } が異なる関数になる場合があるが、超関数としての微分を考えた場合、 ∂ x i ∂ x j T ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}T_{\psi }} と ∂ x j ∂ x i T ψ {\displaystyle \partial _{x_{j}}\partial _{x_{i}}T_{\psi }} は必ず同一の超関数になる事を簡単に確認できる。
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