超関数としての定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
上記の可積分関数の定義では、次のような関数は ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx=\infty } のため可積分ではなく、フーリエ変換が定義できない。 ・ f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} （ c {\displaystyle c} はゼロ以外の定数） ・ f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} （ n {\displaystyle n} は自然数） ・周期関数（ f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} を除く） このように、周期関数のようなフーリエ級数展開が可能な関数が、可積分関数の意味でフーリエ変換できないことは非常に不便であり、またフーリエ変換の理解を難しくしている。 そこで、フーリエ変換の定義を超関数に拡張することが行われる。 超関数とは、急減少関数（シュワルツ空間の元である関数）の列 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} であって、任意の急減少関数 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) ϕ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx} が存在するものを言い、２つの急減少関数の列 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} 、 { g n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{g_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} が、任意の急減少関数 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) ϕ ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ g n ( x ) ϕ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)\phi (x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g_{n}(x)\phi (x)dx} が成り立つとき、 { f n ( x ) } {\displaystyle \{f_{n}(x)\}} と { g n ( x ) } {\displaystyle \{g_{n}(x)\}} は同一の超関数を表すものとする。 イメージとしては、超関数は関数列の極限であるが、関数列自体が超関数であり、 lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} が収束値を持つ必要はない。 急減少関数は可積分関数であるため、可積分関数としてのフーリエ変換が定義されるが、急減少関数のフーリエ変換は急減少関数になるという性質がある。この性質を利用し、次のように超関数のフーリエ変換が定義される。 定義: 急減少関数の列である超関数 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} のフーリエ変換は、急減少関数の列 { ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) e − 2 π i x ξ d x } n = 1 ∞ {\displaystyle \{\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)e^{-2\pi ix\xi }dx\}_{n=1}^{\infty }} からなる超関数と定義される。 ・ f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} （ c {\displaystyle c} はゼロ以外の定数）については、急減少関数の列である超関数 { c exp ( − x 2 / n ) } {\displaystyle \{c\exp(-x^{2}/n)\}} を考え（ lim n → ∞ c exp ( − x 2 / n ) = c {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c\exp(-x^{2}/n)=c} のため、任意の急減少関数 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} について lim n → ∞ ∫ − ∞ ∞ c exp ( − x 2 / n ) ϕ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ c ϕ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n)\phi (x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }c\phi (x)dx} となり広い意味で同一視可能）、そのフーリエ変換は急減少関数の列である超関数 { ∫ − ∞ ∞ c exp ( − x 2 / n − 2 π i x ξ ) d x } = { c exp ( − n π 2 ξ 2 ) ∫ − ∞ ∞ exp ( − ( x + n π i ξ ) 2 / n ) d x } = { c n π exp ( − n π 2 ξ 2 ) } {\displaystyle \{\int _{-\infty }^{\infty }c\exp(-x^{2}/n-2\pi ix\xi )dx\}=\{c\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-(x+n\pi i\xi )^{2}/n)dx\}=\{c{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})\}} となる。 ここで、 ξ ≠ 0 {\displaystyle \xi \neq 0} のときは lim n → ∞ n π exp ( − n π 2 ξ 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=0} 、 ξ = 0 {\displaystyle \xi =0} のときは lim n → ∞ n π exp ( − n π 2 ξ 2 ) = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=\infty } であり、 ∫ − ∞ ∞ n π exp ( − n π 2 ξ 2 ) d ξ = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})d\xi =1} である。これはデルタ関数と言われ、 f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} のフーリエ変換は、 c δ ( ξ ) {\displaystyle c\delta (\xi )} となる。
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