超関数と緩増加超関数の関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「超関数と緩増加超関数の関係」の解説
Tを緩増加超関数とするとき、Tの定義域を S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合C∞0(Rd)に制限した T | C 0 ∞ ( R d ) : C 0 ∞ ( R d ) → C {\displaystyle T|_{C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})}~:~C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to \mathbf {C} } は超関数になる。よって制限写像により緩増加超関数全体の集合 S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} から超関数全体の集合 D ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbf {R} ^{d})} への写像 S ′ ( R d ) → D ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})\to {\mathcal {D}}'(\mathbf {R} ^{d})} 、 T ↦ T | C 0 ∞ ( R d ) {\displaystyle T\mapsto T|_{C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})}} を考える事ができる。この写像は単射である事が知られているので、この写像により自然に S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} を D ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合とみなすことができる。
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