佐藤超関数としての定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 00:14 UTC 版)
「ディラックのデルタ関数」の記事における「佐藤超関数としての定義」の解説
佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値 δ ( x ) := − 1 2 π i ( 1 x + i 0 − 1 x − i 0 ) {\displaystyle \delta (x):={\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x+i0}}-{\frac {1}{x-i0}}\right)} と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には x ≠ 0 ならば − 1 2 π i ( 1 x + i 0 − 1 x − i 0 ) = − 1 2 π i ( 1 x − 1 x ) = 0 {\displaystyle {\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x+i0}}-{\frac {1}{x-i0}}\right)={\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x}}\right)=0} である。また、デルタ関数の最も重要な性質である ∫ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) {\displaystyle \int \delta (x)f(x)\,dx=f(0)} は、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開できる。
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