論理学における矛盾

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論理学における矛盾

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:43 UTC 版)

「矛盾」の記事における「論理学における矛盾」の解説

「無矛盾律」、「背理法」、および「矛盾許容論理」も参照 まず命題論理における矛盾の定義を述べる：命題Pに対して、「Pかつ¬P」を矛盾という。 矛盾を利用した論法に背理法がある。この論法では、「Xである」を示す場合に、まず「Xでない」という架空の設定を考える。そして「Xでない」という架空の設定のもと論理を進め、何らかの矛盾を導く。矛盾が起こったのだからそれは「絶対にありえない事」だという事になるので、最初の「Xでない」がおかしかったのだという事になり、結論として「Xである」を得るのである。 （数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある（爆発律 principle of explosion, ECQ）。背理法は、 命題¬φを仮定して矛盾が導けたら命題φを推論できる と定式化できる。考えている体系において何らかの矛盾が成立していたとすると、形式的な仮定「¬B」をおいても（これは全く使わずに）矛盾を導けるということになる。従ってBの二重否定¬¬Bが推論できることになり、二重否定は無視できる（排中律）ことから結局Bが推論できたことになる。ただし、古典論理ではない直観論理などでは排中律や背理法は成立しない。