線形チャープ信号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/09 17:25 UTC 版)
線形チャープでは、瞬時周波数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} は時間とともに線形に変化する: f ( t ) = f 0 + k t {\displaystyle f(t)=f_{0}+kt} f 0 {\displaystyle f_{0}} は開始周波数 (at time t = 0 {\displaystyle t=0} )で、 k {\displaystyle k} は周波数の増加率あるいはチャープ率である。 k = f 1 − f 0 T {\displaystyle k={\frac {f_{1}-f_{0}}{T}}} f 1 {\displaystyle f_{1}} は最終的な周波数で f 0 {\displaystyle f_{0}} が開始周波数である。 T {\displaystyle T} は f 0 {\displaystyle f_{0}} から f 1 {\displaystyle f_{1}} までをスイープするための時間。 時間領域において、任意の周期波形の位相とは角周波数の積分値である。つまり、位相φは、 ϕ ( t + Δ t ) ≃ ϕ ( t ) + 2 π f ( t ) Δ t {\displaystyle \phi (t+\Delta t)\simeq \phi (t)+2\pi f(t)\,\Delta t} と表され、逆に位相の微分値が角周波数となる。 ϕ ′ ( t ) = 2 π f ( t ) {\displaystyle \phi '(t)=2\pi \,f(t)} . 線形チャープにおいては次のようになる。 ϕ ( t ) = ϕ 0 + 2 π ∫ 0 t f ( τ ) d τ = ϕ 0 + 2 π ∫ 0 t ( f 0 + k τ ) d τ = ϕ 0 + 2 π ( f 0 t + k 2 t 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}(f_{0}+k\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {k}{2}}t^{2}\right),\end{aligned}}} ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} は、初期位相(時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} )である。上記の式の形から、二次関数的位相信号(クアドラティックフェーズ信号)とも呼ばれる. 時間領域での正弦波の線形チャープはラジアンで表した位相のサイン関数であり、次の式になる: x ( t ) = sin [ ϕ 0 + 2 π ( f 0 t + k 2 t 2 ) ] {\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {k}{2}}t^{2}\right)\right]} 周波数領域においては、 f ( t ) = f 0 + k t {\displaystyle f(t)=f_{0}+kt} で表される瞬時周波数と共に、周波数変調の結果生まれる余分な周波数成分（高調波）が伴う。この高調波は、ベッセル関数により定量的に記述することができるが、周波数対時間の関係を表すスペクトログラムを利用することで、線形チャープが基本波のチャープとその高調波成分を含むことを容易に確認することができる。
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