線形ノイズなしICA
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 04:43 UTC 版)
「独立成分分析」の記事における「線形ノイズなしICA」の解説
観測された確率変数ベクトル x = ( x 1 , … , x m ) T {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{m})^{T}} の成分 x i {\displaystyle x_{i}} は独立成分 s k {\displaystyle s_{k}} , k = 1 , … , n {\displaystyle k=1,\ldots ,n} の次のような総和として生成される。 x i = a i , 1 s 1 + … + a i , k s k + … + a i , n s n {\displaystyle x_{i}=a_{i,1}s_{1}+\ldots +a_{i,k}s_{k}+\ldots +a_{i,n}s_{n}} すなわち、 a i , k {\displaystyle a_{i,k}} でそれぞれの独立成分に重み付けがなされている。 このモデルをベクトルとして表すと x = ∑ k = 1 n s k a k {\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}s_{k}a_{k}} となり、観測された確率変数ベクトル x {\displaystyle x} が基本ベクトル a k = ( a 1 , k , … , a m , k ) T {\displaystyle a_{k}=(a_{1,k},\ldots ,a_{m,k})^{T}} で表される。 基本ベクトル a k {\displaystyle a_{k}} は混合行列 A = ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle A=(a_{1},\ldots ,a_{n})} の列を形成し、生成式は x = A s {\displaystyle x=As} と表され、このとき s = ( s 1 , … , s n ) T {\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})^{T}} である。 モデルと x 1 , … , x N {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}} からなる確率変数ベクトル x {\displaystyle x} の標本があるとき、混合行列 A {\displaystyle A} と信号源 s {\displaystyle s} を予測する作業が行われる。これは、 w {\displaystyle w} ベクトルを順応的に計算し、計算された s k = ( w T ∗ x ) {\displaystyle s_{k}=(w^{T}*x)} の非ガウス性を最大化するか、相互情報量を最小化するコスト関数を設定することでなされる。場合によっては信号源の確率分布についての事前の知識をコスト関数に利用する。 信号源 s {\displaystyle s} は観測された信号群 x {\displaystyle x} に混合行列の逆行列 W = A − 1 {\displaystyle W=A^{-1}} （分離行列をかけることで求められる。ここで、混合行列は正方行列と想定されている。
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