熱方程式の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:24 UTC 版)
Ω を（自然数 n に対する）空間 ℝn の部分領域とする（有界であるかは問わない）。その境界は滑らかであるとし、Γ で表す。T > 0 に対し、Ω × (0,T) 上の次の熱方程式を考える： u t − Δ u = 0 in Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on Γ × ( 0 , T ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T).\end{array}}} ここで Ω 内の初期条件を u(0) = u0 と表す。 Γ × (0,T) 上で u = 0 となる斉次ディリクレ境界条件を考える。この問題に対する数学的な取り組み方として、半群の手法が考えられる。この手法を使うために、 L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} 上で定義される非有界作用素 ΔD と、その定義域 D ( Δ D ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )} を考える。ここで、 H k ( Ω ) = W k , 2 ( Ω ) {\displaystyle H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )} であるような古典的ソボレフ空間を思い出されたい。また H 0 1 ( Ω ) = C 0 ∞ ( Ω ) ¯ H 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}} は Ω 内にコンパクトな台を持つ、 H 1 ( Ω ) − {\displaystyle H^{1}(\Omega )-} ノルムについて無限回微分可能な関数の空間の閉包である。 任意の v ∈ D ( Δ D ) {\displaystyle v\in D(\Delta _{D})} に対して、次が成り立つ。 Δ D v = Δ v = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 v . {\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.} この作用素を使うと、熱方程式は u ′ ( t ) = Δ D u ( t ) {\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)} および u(0) = u0 と書き換えることが出来る。したがって、この方程式に対応するフローは φ ( u 0 , t ) = e t Δ D u 0 {\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0}} となる（前述の記法を参照）。ここで exp(tΔD) は ΔD によって生成される（解析的）半群である。
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