無矛盾性と完全性とは? わかりやすく解説

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無矛盾性と完全性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/10 06:40 UTC 版)

プリンキピア・マテマティカ」の記事における「無矛盾性と完全性」の解説

残され当時関心は以下の2件であったプリンキピア公理から矛盾導かれるかどうか(無矛盾性問題) 証明反証もされない数学言明体系内に存在するかどうか(完全性問題) 命題論理自体無矛盾で完全であると知られていたが、同じことはプリンキピア集合論公理に関して確立されていなかった。(ヒルベルトの第2問題参照) ゲーデルの不完全性定理は、これら2つ関連する問題予期せぬ光を投げかけた。 ゲーデルの第1不完全性定理は、プリンキピア無矛盾かつ完全であることはできないこと示した定理によればプリンキピアのような十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在するこのような言明は、キャッチ22よばれる種類であり、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系矛盾しており、Gが証明不可であればそれは真で、したがって体系は不完全である。 ゲーデルの第2不完全性定理は、基本算術展開するどんな形式体系も、それを使って自己の無矛盾性証明することはできないと言う。 したがって、「プリンキピア体系無矛盾である」という言明は、体系内に矛盾がある場合のみで、プリンキピア体系内で証明することはできない

※この「無矛盾性と完全性」の解説は、「プリンキピア・マテマティカ」の解説の一部です。
「無矛盾性と完全性」を含む「プリンキピア・マテマティカ」の記事については、「プリンキピア・マテマティカ」の概要を参照ください。

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