無矛盾だがω矛盾した理論の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 10:09 UTC 版)
「ω無矛盾」の記事における「無矛盾だがω矛盾した理論の例」の解説
ペアノ算術 PA はω無矛盾であるからΣ1健全性により PA から ¬Con(PA) は証明不能である。そこで PA に ¬Con(PA) を付け加えた理論 T を考える。不完全性定理により PA は Con(PA) を証明できないから T は無矛盾である。T では、PA の標準モデルにおいて偽であるΣ1論理式 ¬Con(PA) を証明できる。すなわち T はΣ1健全でない。ω無矛盾性はΣ1健全性を含意するので、したがって T はω矛盾している。 上述の理論 T のモデルは矛盾に至る PA の証明図のゲーデル数を持つ。これは標準的自然数ではありえないので超準的自然数である。すなわち T のモデルはペアノ算術の超準モデルになっている。
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