無条件収束との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 07:17 UTC 版)
詳細は「無条件収束」を参照 ノルムつきアーベル群 G に値を持つ級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} と、自然数の置換 σ が与えられたとする。このとき、 ∑ n = 0 ∞ a σ ( n ) {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}} は元の級数の並べ替え (rearrangement) と呼ばれる。任意の並べ替えが（置換の選び方によらず）同じ値に収束するとき、この級数は無条件収束すると言われる。 G が完備なら絶対収束から無条件収束が導かれる。すなわち、ノルムつきアーベル群 G がノルムに関して完備とすると、G上の級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} は絶対収束するなら無条件収束する。次節ではノルムが完備でない場合も含めて証明する。 定理 an は一般の（完備性を仮定しない）ノルム空間上の列であり、 ∑ i = 1 ∞ a i = A < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A<\infty } , ∑ i = 1 ∞ ‖ a i ‖ < ∞ {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty } とする。σ は自然数 N の任意の置換とする。このとき、 ∑ i = 1 ∞ a σ ( i ) = A {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A} である。すなわち収束かつ絶対収束する級数は無条件収束する。(完備とは限らない空間においては絶対収束性から収束性を導けないので、収束性と絶対収束性の両方を仮定する必要がある) 証明 an は絶対収束および収束するから、任意の ε > 0 に対して、ある κ ε , λ ε ∈ N {\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} } が選べて、 ∀ N > κ ε , ∑ n = N ∞ ‖ a n ‖ < ε 2 {\displaystyle \forall N>\kappa _{\varepsilon }\ ,\sum \limits _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\frac {\varepsilon }{2}}} および ∀ N > λ ε , ‖ ∑ n = 1 N a n − A ‖ < ε 2 {\displaystyle \forall N>\lambda _{\varepsilon }\ ,\left\|\sum \limits _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\frac {\varepsilon }{2}}} となる。 さて、 N ε := max ( κ ε , λ ε ) {\displaystyle N_{\varepsilon }:=\max(\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon })} 、 M σ , ε := max { σ − 1 ( { 1 , … , N ε } ) } {\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }:=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)\right\}} として、 N > M σ , ε {\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }} となるような任意の N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } について、 I σ , ε := { 1 , … , N } ∖ σ − 1 ( { 1 , … , N ε } ) {\displaystyle I_{\sigma ,\varepsilon }:=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)} とする。 すると、以下の式がなりたつ ‖ ∑ i = 1 N a σ ( i ) − A ‖ = ‖ ∑ i ∈ σ − 1 ( { 1 , … , N ε } ) a σ ( i ) − A + ∑ i ∈ I σ , ε a σ ( i ) ‖ {\displaystyle \left\|\sum \limits _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|} ≤ ‖ ∑ i = 1 N ε a i − A ‖ + ‖ ∑ i ∈ I σ , ε a σ ( i ) ‖ ≤ ‖ ∑ i = 1 N ε a i − A ‖ + ∑ i ∈ I σ , ε ‖ a σ ( i ) ‖ {\displaystyle \leq \left\|\sum _{i=1}^{N_{\varepsilon }}a_{i}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\leq \left\|\sum _{i=1}^{N_{\varepsilon }}a_{i}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\|a_{\sigma (i)}\|} ≤ ‖ ∑ i = 1 N ε a i − A ‖ + ∑ i = min { σ ( k ) | k ∈ I σ , ε } max { σ ( k ) | k ∈ I σ , ε } ‖ a i ‖ ≤ ‖ ∑ i = 1 N ε a i − A ‖ + ∑ i = N ε + 1 ∞ ‖ a i ‖ ≤ ε {\displaystyle \leq \left\|\sum _{i=1}^{N_{\varepsilon }}a_{i}-A\right\|+\sum _{i=\min\{\sigma (k)|k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\}}^{\max\{\sigma (k)|k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\}}\|a_{i}\|\leq \left\|\sum _{i=1}^{N_{\varepsilon }}a_{i}-A\right\|+\sum _{i=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\|a_{i}\|\leq \varepsilon } すなわち ∀ ε > 0 , ∃ M σ , ε ∀ N > M σ , ε , ‖ ∑ i = 1 N a σ ( i ) − A ‖ < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\ ,\exists M_{\sigma ,\varepsilon }\,\forall N>M_{\sigma ,\varepsilon }\,\,,\left\|\sum \limits _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon } これは ∑ i = 1 ∞ a σ ( i ) = A {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A} を意味する。(証明終り) 実または複素数列に対しては、リーマンの級数定理の対偶として、無条件収束から絶対収束が導かれることも言える。すなわち、実または複素数列に対しては無条件収束と絶対収束は同値である。さらに、有限次元ノルム空間に値を持つような級数は、各次元に射影した成分が絶対収束するなら絶対収束するから、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 値の列に対して絶対収束性と無条件収束性が同値であることを導くのは容易である。 一般のノルムつきアーベル群G上の列においては、絶対収束と無条件収束は区別される。完備なノルム空間であっても無条件収束から絶対収束は導かれない。例えばヒルベルト空間 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} において、 { e n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }} を直交基底としたときの列 a n = 1 n e n {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}e_{n}} による級数は無条件収束するが絶対収束はしない。もっと一般に、Dvoretzky–Rogersの定理によれば、すべての無限次元バナッハ空間には無条件収束するが絶対収束しないような級数が存在する。
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