無条件収束級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 01:28 UTC 版)
添字集合を I = N とする。点列 (an)n∈N が位相アーベル群 X において無条件総和可能な族ならば、この点列は通常の意味でも収束し、同じ値の和 ∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n ∈ N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}} を持つ。定義の仕方から、無条件総和可能性は和を取る項の順番によって値が変化することは無い。すなわち、∑ an が無条件総和可能ならば、添字集合 N 上で任意の置換 σ を施したものも収束し、 ∑ n = 0 ∞ a σ ( n ) = ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} が成り立つ。この逆もまた成立し、級数 ∑ an が任意の置換を施してもなお収束するならば、その級数は無条件収束する。X が完備ならば、無条件収束は任意の部分級数が収束することと同値であり、X がバナッハ空間ならば任意の符号付け εn (= ±1) から得られる級数 ∑ n = 0 ∞ ε n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}} が X において収束することとも同値である。X がバナッハ空間ならば絶対収束の概念を定義することができる。すなわち、X に属するベクトルの級数 ∑ an が絶対収束するとは ∑ n ∈ N ‖ a n ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{n\in \mathbf {N} }\|a_{n}\|<\infty } となることをいう。バナッハ空間におけるベクトルの級数が絶対収束するならばその収束は無条件収束であるが、この逆が成り立つのはバナッハ空間が有限次元である場合に限る(Dvoretzky-Rogersの定理)。
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