滑らかな擬正則曲線のモジュライ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/29 06:10 UTC 版)
「安定写像」の記事における「滑らかな擬正則曲線のモジュライ空間」の解説
閉シンプレクティック多様体 X {\displaystyle X} がシンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } を持っているとする。 g {\displaystyle g} と n {\displaystyle n} をそれぞれ自然数(ゼロを含む)とし、 A {\displaystyle A} を X {\displaystyle X} の中の 2-次元のホモロジー類とすると、次の式の擬正則曲線（英語版）(pseudoholomorphic curve)の集合を考えることができる。 ( ( C , j ) , f , ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle ((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,} ここに ( C , j ) {\displaystyle (C,j)} は滑らかで、種数 g {\displaystyle g} で n {\displaystyle n} 個のマークされた点 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} を持つ閉リーマン面で、 f : C → X {\displaystyle f:C\to X\,} は、ある ω {\displaystyle \omega } -tame な概複素構造 J {\displaystyle J} と非斉次項 ν {\displaystyle \nu } に対して、次の摂動を持つコーシー・リーマン方程式を満たす函数である。 ∂ ¯ j , J f := 1 2 ( d f + J ∘ d f ∘ j ) = ν . {\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .} 典型的には、 C {\displaystyle C} の穴あきオイラー標数 2 − 2 g − n {\displaystyle 2-2g-n} を負とするようなこれら g {\displaystyle g} と n {\displaystyle n} に対してのみ許されるので安定であり、高々有限個の C {\displaystyle C} の正則自己同型が存在して、マークされた点を保存することを意味する。 作用素 ∂ ¯ j , J {\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}} は楕円型であり、従ってフレドホルム型である。重要な解析的な議論（適切にソボレフノルムで完備化し、陰函数定理とサードの定理(Sard's theorem)をバナッハ多様体に適用し、楕円型正規性（英語版）を使い滑らかにする）の後に、 ω {\displaystyle \omega } -tame J {\displaystyle J} と摂動 ν {\displaystyle \nu } の一般的な選択に対して、クラス A {\displaystyle A} を表す n {\displaystyle n} 個のマークした点を持ち、種数 g {\displaystyle g} の ( j , J , ν ) {\displaystyle (j,J,\nu )} -正則曲線の集合は、滑らかな向きづけ可能なアティヤ＝シンガーの指数定理により与えられた次元を持つ次のオービフォールド（英語版）(orbifold)を形成する。 M g , n J , ν ( X , A ) . {\displaystyle M_{g,n}^{J,\nu }(X,A).} d := dim R M g , n ( X , A ) = 2 c 1 X ( A ) + ( dim R X − 6 ) ( 1 − g ) + 2 n . {\displaystyle d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.}
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