滑らかな関数に対する変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 02:36 UTC 版)
「ルジャンドル変換」の記事における「滑らかな関数に対する変換」の解説
もとの関数 f(x) の一階の導関数 f'(x) が x について連続であり単調増加する場合、すなわち関数 f(x) が下に凸で滑らかな場合、関数 g(x) = px − f(x) の上限となる x は、g(x) の x の一階の導関数 g'(x) が 0 になる点であるから、ルジャンドル変換は次のように書き直せる。 f ∗ ( p ) = p x ∗ ( p ) − f ( x ∗ ( p ) ) . {\displaystyle f^{*}(p)=px^{*}(p)-f(x^{*}(p)).} ここで関数 x*(p) は f(x) の導関数 f'(x) の逆関数である： x ∗ ( p ) = f ′ − 1 ( p ) . {\displaystyle x^{*}(p)={f'}^{-1}(p).} これは方程式 f'(x) = p の解である。 また、f もそのルジャンドル変換 f * も2階微分可能なら、両者は逆数の関係にある。すなわち f ″ ( x ) f ∗ ″ ( p ) = 1. {\displaystyle f''(x)f^{*}{''}(p)=1.} ただし x と p は p = f '(x) を満たすとする。
※この「滑らかな関数に対する変換」の解説は、「ルジャンドル変換」の解説の一部です。
「滑らかな関数に対する変換」を含む「ルジャンドル変換」の記事については、「ルジャンドル変換」の概要を参照ください。
ウィキペディア小見出し辞書の「滑らかな関数に対する変換」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。
お問い合わせ。
- 滑らかな関数に対する変換のページへのリンク
