滑らかな関数の引き戻し
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/05 10:15 UTC 版)
多様体間のすべての微分可能な写像 f: M → N が（微分写像あるいは微分と呼ばれる）線型写像 f ∗ : T x M → T f ( x ) N {\displaystyle f_{*}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N} f ∗ : T f ( x ) ∗ N → T x ∗ M {\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M} ( f ∗ θ ) ( X x ) = θ ( f ∗ X x ) {\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x})} ただし θ ∈ Tf(x)*N および Xx ∈ TxM。それぞれがどこの元であるかを注意深く注意せよ。 点で消える滑らかな関数の同値類の言葉で余接ベクトルを定義すれば、引き戻しの定義はさらにもっと直接的である。g を f(x) で消える N 上の滑らかな関数とする。すると g によって決定される余ベクトルの引き戻し（dg と表記される）は f ∗ d g = d ( g ∘ f ) {\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f)} で与えられる。つまり、それは g o f で決定される x で消える M 上の関数の同値類である。
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