深さ_(環論)

ウィキペディア

深さ (環論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/23 01:38 UTC 版)

可換およびホモロジー代数において、深さ、深度 (depth) は環と加群の重要な不変量である。深さはより一般に定義できるが、考察される最も一般的なケースは可換ネーター局所環上の加群のケースである。この場合、加群の深さはAuslander-Buchsbaum の公式（英語版）によってその射影次元と関係する。深さのより初等的な性質は不等式

${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),}$

である、ただし dim M は加群 M のクルル次元を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えばコーエン-マコーレー環と加群で、これは等号が成り立つ。

定義

R を可換ネーター環、I を R のイデアル、M を IM が M に真に含まれるという性質をもつ有限 R-加群とする。このとき M の I-深度 (I-depth) は、 M の grade とも呼ばれるが、

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}}$

と定義される。定義によって、環 R の深度は自身の上の加群としてのその深度である。

David Rees による定理によって、深度は正則列の概念を用いて特徴づけることもできる。

定理 (Rees)

R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ とし、M を有限生成 R-加群とする。このとき M のすべての極大正則列 x₁,..., x_n、ただし各 x_i は ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ に属する、は M の ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-深度と同じ長さ n をもつ。

深さと射影次元

可換ネーター局所環上の加群の射影次元と深さは互いに相補的である。これは Auslander–Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ とし、M を有限生成 R-加群とする。M の射影次元が有限であれば、Auslander–Buchsbaum の公式が述べているのは

${\displaystyle \mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).}$

深さ0の環

可換ネーター局所環 R が深さ 0 をもつこととその極大イデアル ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、R の 0 でない元 x が存在して ${\displaystyle x{\mathfrak {m}}=0}$ （すなわち x は ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ を零化する）。これが意味するのは、本質的に、閉点が埋め込まれた成分（英語版）であるということだ。

例えば、環 ${\displaystyle k[x,y]/(x^{2},xy)}$ （ただし k は体）は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 (${\displaystyle x=0}$) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は 1 である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。

参考文献

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, MR1322960 
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1

Weblio日本語例文用例辞書

「深さ (環論)」の例文・使い方・用例・文例

• その井戸の深さはどれくらいですか
• その湖の深さは40メートルです
• 足首の深さの
• この湖はどのくらいの深さですか
• 彼女の芸術に対する造詣の深さに感銘を受けた
• ひざまでの深さの雪
• 潜水艦は50メートルの深さまで潜った
• 彼らは敵の執念深さに気づいていなかった。
• その仕事には行動する際の思慮深さが要求される。
• その問題の根深さ
• この小説は人間の本質の非難されるべき欲深さを明らかにしている。
• 入り江の深さは平均7.3mだ。
• 信頼の深さ
• 私は5フィートの深さまで潜れます。
• 私たちは彼の日本史に関する造詣の深さに驚いた。
• 欲の深さが彼を没落させた。
• 用心深さは勇気の大半である。
• 容積を計算するためには縦と横と深さをかければよい。
• 琵琶湖の深さはどうですか。
• 彼は日本の歴史に非常に興味を持っており、その知識の深さには驚くばかりである。