正規行列とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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正規行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/02 06:05 UTC 版)

「スペクトル定理」の記事における「正規行列」の解説

詳細は「正規行列」を参照スペクトル定理は、より一般の行列のクラスに対しても拡張できる。A をある有限次元内積空間の上の作用素とする。A が正規であるとは、A* A = A A* が成立することを言う。A が正規であるための必要十分条件は、それがユニタリ対角化可能であることである。すなわち、シュール分解によって A = U T U* が得られる。ここで U はユニタリで、T は上三角である。A は正規であるので、T T* = T* T が成り立つ。したがって、正規な上三角行列は対角行列であることより、T は上三角である。この逆は自明である。言い換えると、A が正規であるための必要十分条件は、次を満たすようなユニタリ行列 U が存在することである。 A = U D U ∗ {\displaystyle A=UDU^{*}\;} ここで D は対角行列である。このとき、D の対角成分は A の固有値となる。また U の各列ベクトルは A の固有ベクトルで、それらは正規直交系をなす。エルミートの場合とは異なり、D の成分は必ずしも実数でなくてもよい。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)

A {\displaystyle A} が正規行列、つまり、共役転置が可換であれば、その擬似逆行列は、それを対角化し、すべての非ゼロ固有値をそれらの逆数に、ゼロ固有値をゼロに写すことで計算できる。当然、 A {\displaystyle A} が転置について可換であるとは、それがその擬似逆行列で可換であることを意味します。

※この「正規行列」の解説は、「ムーア・ペンローズ逆行列」の解説の一部です。
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