正多角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/03 00:15 UTC 版)
1種類で平面を充填できる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。これらは正平面充填形 (Regular Tessellation) とも呼ばれる。 正三角形による平面充填 正方形による平面充填 正六角形による平面充填 正三角形、正方形については、図の充填のほかに、頂点をずらした充填も可能である。ただし、隣のタイルの頂点と接する辺を、2辺が内角180°で接していると考えれば、これらは実際は、後述する、一般の四角形、平行六角形による充填の特殊ケースとなる。 1種類の正多角形による（頂点をずらさない）平面充填は、正多角形同様、シュレーフリ記号 {p, q} （正 p 角形が q 個頂点に集まる）で表せる。 正三角形 {3, 6} 正方形 {4, 4} 正六角形 {6, 3} 正 p 角形の内角を q 倍すると 360° になることから、 ( p − 2 ) q = 2 p {\displaystyle (p-2)q=2p} である。これから、1種類の正多角形による充填がこの3つしか存在しないことが証明できる。
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正多角形
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一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様なアルキメデスの平面充填と呼ばれる平面充填が8種類あり、半正多面体の一種とされることもある。括弧中は頂点形状（各頂点に集まる正多角形の種類と順序）を表す。 正三角形4枚、正六角形1枚 (3, 3, 3, 3, 6) 正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 3, 4, 4) 正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 4, 3, 4) 正三角形1枚、正方形2枚、正六角形1枚 (3, 4, 6, 4) 正三角形2枚、正六角形2枚 (3, 6, 3, 6) 正三角形1枚、正十二角形2枚 (3, 12, 12) 正方形1枚、正六角形1枚、正十二角形1枚 (4, 6, 12) 正方形1枚、正八角形2枚 (4, 8, 8)
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正多角形
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「外接円」も参照 小さい n に対する RnnRn3 0.577350... 4 0.707106... 5 0.850650... 6 1.0 7 1.152382... 8 1.306562... 9 1.461902... 10 1.618033... 一辺の長さ s の正 n-角形の半径 r は r = R n s ( R n := 1 2 sin ( π n ) ) {\displaystyle r=R_{n}s\qquad {\Bigl (}R_{n}:={\frac {1}{2\sin({\frac {\pi }{n}})}}{\Bigr )}} で与えられる（小さい n に対する Rn の値を右の表にまとめておく）。 s = 1 のときには、Rn それ自身が対応する正 n-角形の半径を与えている。
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