ラグランジュの未定乗数法
 | この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2011年7月) |
ラグランジュの未定乗数法（ラグランジュのみていじょうすうほう、英: method of Lagrange multiplier）とは、束縛条件のもとで最適化を行うための数学（解析学）的な方法である。いくつかの変数に対して、いくつかの関数の値を固定するという束縛条件のもとで、別のある1つの関数の極値を求めるという問題を考える。各束縛条件に対して定数（未定乗数、Lagrange multiplier）を用意し、これらを係数とする線形結合を新しい関数（未定乗数も新たな変数とする）として考えることで、束縛問題を普通の極値問題として解くことができる方法である。
定理
ラグランジュの未定乗数法は、次のような定理として記述される。
2次元の場合
束縛条件 g(x, y) = 0 の下で、f(x, y) が最大値となる点 (a , b) を求める問題、つまり
- maximize
図1：束縛条件 g (x,y ) = c に対して関数 f (x,y ) を最大化する場合。 
図2：図1の等高線地図。赤い線は束縛条件 g(x, y) = c を示す。青い線は f(x, y) の等高線。赤い線が青い等高線に接する点が解。 簡単のため2次元の場合を考えよう。g (x, y) = c（ここで c は与えられた定数である）という条件の下、関数 f (x, y) を最大化するものとしよう。f の値を高さとしたグラフを考えると、高さが d の f の等高線は f (x, y) = d で与えられる。ここで、任意の曲線に沿って移動する点を考えると、この点が等高線を横切る場合、必ず f (x, y) は増加、もしくは減少するが、この点が等高線に沿って移動する場合は f (x, y) は変化しないことが分かる。この条件と通常の極値の条件を合わせて考えれば、曲線上で f (x, y) が最大をとる点では、f の等高線の接線と曲線の接線が平行となっているか、f の勾配がゼロとなっていることが分かる。ここで g (x, y) = c の接線は、g の勾配ベクトル ∇x,y g と直交し、また f の等高線 f (x, y) = d の接線は f の勾配ベクトル ∇x,y f と直交することを踏まえると、前述の条件は
| 一般 | |
|---|---|
| 微分可能 |
| 凸縮小化 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 線型 および 二次 |
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| 系列範例 (Paradigms) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| グラフ理論 |
| ||||
| ネットワークフロー (最大流問題) |
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